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Theorem bposlem2 25209
Description: There are no odd primes in the range (2𝑁 / 3, 𝑁] dividing the 𝑁-th central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bposlem2.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
bposlem2.2 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
bposlem2.3 (𝜑 → 2 < 𝑃)
bposlem2.4 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃)
bposlem2.5 (𝜑𝑃𝑁)
Assertion
Ref Expression
bposlem2 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)

Proof of Theorem bposlem2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bposlem2.1 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 bposlem2.2 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
3 pcbcctr 25200 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
41, 2, 3syl2anc 696 . 2 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
5 elfznn 12563 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
6 elnn1uz2 11958 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘2)))
75, 6sylib 208 . . . . 5 (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘2)))
8 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃↑1))
9 prmnn 15590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
102, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
1110nncnd 11228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
1211exp1d 13197 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
138, 12sylan9eqr 2816 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = 1) → (𝑃𝑘) = 𝑃)
1413oveq2d 6829 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = 1) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) = ((2 · 𝑁) / 𝑃))
1514fveq2d 6356 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 1) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) = (⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)))
16 2t1e2 11368 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 1) = 2
1711mulid2d 10250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 · 𝑃) = 𝑃)
18 bposlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃𝑁)
1917, 18eqbrtrd 4826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 · 𝑃) ≤ 𝑁)
20 1red 10247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
211nnred 11227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2210nnred 11227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
2310nngt0d 11256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < 𝑃)
24 lemuldiv 11095 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → ((1 · 𝑃) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / 𝑃)))
2520, 21, 22, 23, 24syl112anc 1481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((1 · 𝑃) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / 𝑃)))
2619, 25mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ (𝑁 / 𝑃))
2721, 10nndivred 11261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ)
28 1re 10231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
29 2re 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
30 2pos 11304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 2
3129, 30pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
32 lemul2 11068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ↔ (2 · 1) ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃))))
3328, 31, 32mp3an13 1564 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ↔ (2 · 1) ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃))))
3427, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ↔ (2 · 1) ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃))))
3526, 34mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · 1) ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃)))
3616, 35syl5eqbrr 4840 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃)))
37 2cnd 11285 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
381nncnd 11228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3910nnne0d 11257 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ≠ 0)
4037, 38, 11, 39divassd 11028 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) = (2 · (𝑁 / 𝑃)))
4136, 40breqtrrd 4832 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 𝑃))
42 bposlem2.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃)
43 2nn 11377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ
44 nnmulcl 11235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
4543, 1, 44sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
4645nnred 11227 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
47 3re 11286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ
48 3pos 11306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 3
4947, 48pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
50 ltdiv23 11106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3))
5149, 50mp3an2 1561 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3))
5246, 22, 23, 51syl12anc 1475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3))
5342, 52mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3)
54 df-3 11272 . . . . . . . . . . . 12 3 = (2 + 1)
5553, 54syl6breq 4845 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) < (2 + 1))
5646, 10nndivred 11261 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) ∈ ℝ)
57 2z 11601 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
58 flbi 12811 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 · 𝑁) / 𝑃) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)) = 2 ↔ (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 𝑃) ∧ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < (2 + 1))))
5956, 57, 58sylancl 697 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)) = 2 ↔ (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 𝑃) ∧ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < (2 + 1))))
6041, 55, 59mpbir2and 995 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)) = 2)
6160adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 1) → (⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)) = 2)
6215, 61eqtrd 2794 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 1) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) = 2)
6313oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 = 1) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) = (𝑁 / 𝑃))
6463fveq2d 6356 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = 1) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) = (⌊‘(𝑁 / 𝑃)))
65 remulcl 10213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ) → (2 · (𝑁 / 𝑃)) ∈ ℝ)
6629, 27, 65sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) ∈ ℝ)
6747a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
68 4re 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℝ
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
7040, 53eqbrtrrd 4828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) < 3)
71 3lt4 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 < 4
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 3 < 4)
7366, 67, 69, 70, 72lttrd 10390 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) < 4)
74 2t2e4 11369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 2) = 4
7573, 74syl6breqr 4846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2))
76 ltmul2 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 / 𝑃) < 2 ↔ (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2)))
7729, 31, 76mp3an23 1565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ → ((𝑁 / 𝑃) < 2 ↔ (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2)))
7827, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑁 / 𝑃) < 2 ↔ (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2)))
7975, 78mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) < 2)
80 df-2 11271 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = (1 + 1)
8179, 80syl6breq 4845 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) < (1 + 1))
82 1z 11599 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
83 flbi 12811 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / 𝑃)) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ∧ (𝑁 / 𝑃) < (1 + 1))))
8427, 82, 83sylancl 697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⌊‘(𝑁 / 𝑃)) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ∧ (𝑁 / 𝑃) < (1 + 1))))
8526, 81, 84mpbir2and 995 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌊‘(𝑁 / 𝑃)) = 1)
8685adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = 1) → (⌊‘(𝑁 / 𝑃)) = 1)
8764, 86eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = 1) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) = 1)
8887oveq2d 6829 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 1) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = (2 · 1))
8988, 16syl6eq 2810 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 1) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = 2)
9062, 89oveq12d 6831 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 1) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = (2 − 2))
91 2cn 11283 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
9291subidi 10544 . . . . . . 7 (2 − 2) = 0
9390, 92syl6eq 2810 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 1) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = 0)
9445nnrpd 12063 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
9594adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
96 eluzge2nn0 11920 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 𝑘 ∈ ℕ0)
97 nnexpcl 13067 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
9810, 96, 97syl2an 495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
9998nnrpd 12063 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ+)
10095, 99rpdivcld 12082 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ+)
101100rpge0d 12069 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)))
10246adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
103 remulcl 10213 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (3 · 𝑃) ∈ ℝ)
10447, 22, 103sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (3 · 𝑃) ∈ ℝ)
105104adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (3 · 𝑃) ∈ ℝ)
10698nnred 11227 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)
107 ltdivmul 11090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃)))
10849, 107mp3an3 1562 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃)))
10946, 22, 108syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃)))
11042, 109mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃))
111110adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃))
11222, 22remulcld 10262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
113112adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
114 bposlem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 2 < 𝑃)
115 nnltp1le 11625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (2 < 𝑃 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑃))
11643, 10, 115sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 < 𝑃 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑃))
117114, 116mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 + 1) ≤ 𝑃)
11854, 117syl5eqbr 4839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 3 ≤ 𝑃)
119 lemul1 11067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (3 ≤ 𝑃 ↔ (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃)))
12047, 119mp3an1 1560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (3 ≤ 𝑃 ↔ (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃)))
12122, 22, 23, 120syl12anc 1475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (3 ≤ 𝑃 ↔ (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃)))
122118, 121mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃))
123122adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃))
12411sqvald 13199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
125124adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
12622adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑃 ∈ ℝ)
12710nnge1d 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ≤ 𝑃)
128127adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 1 ≤ 𝑃)
129 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘2))
130126, 128, 129leexp2ad 13235 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃↑2) ≤ (𝑃𝑘))
131125, 130eqbrtrrd 4828 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃 · 𝑃) ≤ (𝑃𝑘))
132105, 113, 106, 123, 131letrd 10386 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (3 · 𝑃) ≤ (𝑃𝑘))
133102, 105, 106, 111, 132ltletrd 10389 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))
13498nncnd 11228 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃𝑘) ∈ ℂ)
135134mulid1d 10249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑃𝑘) · 1) = (𝑃𝑘))
136133, 135breqtrrd 4832 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · 𝑁) < ((𝑃𝑘) · 1))
137 1red 10247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 1 ∈ ℝ)
138102, 137, 99ltdivmuld 12116 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < 1 ↔ (2 · 𝑁) < ((𝑃𝑘) · 1)))
139136, 138mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < 1)
140 1e0p1 11744 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
141139, 140syl6breq 4845 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))
142100rpred 12065 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
143 0z 11580 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
144 flbi 12811 . . . . . . . . . 10 ((((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∧ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))))
145142, 143, 144sylancl 697 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∧ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))))
146101, 141, 145mpbir2and 995 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) = 0)
1471nnrpd 12063 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
148147adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
149148, 99rpdivcld 12082 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ+)
150149rpge0d 12069 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑘)))
15121adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ)
15221, 147ltaddrpd 12098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 < (𝑁 + 𝑁))
153382timesd 11467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
154152, 153breqtrrd 4832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 < (2 · 𝑁))
155154adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 < (2 · 𝑁))
156151, 102, 106, 155, 133lttrd 10390 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 < (𝑃𝑘))
157156, 135breqtrrd 4832 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 < ((𝑃𝑘) · 1))
158151, 137, 99ltdivmuld 12116 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑁 / (𝑃𝑘)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃𝑘) · 1)))
159157, 158mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) < 1)
160159, 140syl6breq 4845 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))
161149rpred 12065 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
162 flbi 12811 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∧ (𝑁 / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))))
163161, 143, 162sylancl 697 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∧ (𝑁 / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))))
164150, 160, 163mpbir2and 995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) = 0)
165164oveq2d 6829 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = (2 · 0))
166 2t0e0 11375 . . . . . . . . 9 (2 · 0) = 0
167165, 166syl6eq 2810 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = 0)
168146, 167oveq12d 6831 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = (0 − 0))
169 0m0e0 11322 . . . . . . 7 (0 − 0) = 0
170168, 169syl6eq 2810 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = 0)
17193, 170jaodan 861 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘2))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = 0)
1727, 171sylan2 492 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = 0)
173172sumeq2dv 14632 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))0)
174 fzfid 12966 . . . 4 (𝜑 → (1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin)
175 sumz 14652 . . . . 5 (((1...(2 · 𝑁)) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))0 = 0)
176175olcs 409 . . . 4 ((1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))0 = 0)
177174, 176syl 17 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))0 = 0)
178173, 177eqtrd 2794 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = 0)
1794, 178eqtrd 2794 1 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  3c3 11263  4c4 11264  0cn0 11484  cz 11569  cuz 11879  +crp 12025  ...cfz 12519  cfl 12785  cexp 13054  Ccbc 13283  Σcsu 14615  cprime 15587   pCnt cpc 15743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-prm 15588  df-pc 15744
This theorem is referenced by:  bposlem3  25210
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