MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bposlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bposlem1 25230
Description: An upper bound on the prime powers dividing a central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bposlem1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))

Proof of Theorem bposlem1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12980 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin)
2 2nn 11387 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
3 nnmulcl 11245 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
42, 3mpan 670 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
54ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
6 prmnn 15595 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
76ad2antlr 706 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑃 ∈ ℕ)
8 elfznn 12577 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
98adantl 467 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ)
109nnnn0d 11553 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
117, 10nnexpcld 13237 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
12 nnrp 12045 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
13 nnrp 12045 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑘) ∈ ℕ → (𝑃𝑘) ∈ ℝ+)
14 rpdivcl 12059 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ+ ∧ (𝑃𝑘) ∈ ℝ+) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ+)
1512, 13, 14syl2an 583 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑃𝑘) ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ+)
165, 11, 15syl2anc 573 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ+)
1716rpred 12075 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
1817flcld 12807 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) ∈ ℤ)
19 2z 11611 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
20 simpll 750 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
21 nnrp 12045 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
22 rpdivcl 12059 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃𝑘) ∈ ℝ+) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ+)
2321, 13, 22syl2an 583 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃𝑘) ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ+)
2420, 11, 23syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ+)
2524rpred 12075 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
2625flcld 12807 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℤ)
27 zmulcl 11628 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℤ) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) ∈ ℤ)
2819, 26, 27sylancr 575 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) ∈ ℤ)
2918, 28zsubcld 11689 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ∈ ℤ)
3029zred 11684 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ∈ ℝ)
31 1re 10241 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
32 0re 10242 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
3331, 32keepel 4294 . . . . 5 if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) ∈ ℝ)
3528zred 11684 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) ∈ ℝ)
3617, 35resubcld 10660 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ∈ ℝ)
37 2re 11292 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 2 ∈ ℝ)
3918zred 11684 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) ∈ ℝ)
40 flle 12808 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)))
4117, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)))
4239, 17, 35, 41lesub1dd 10845 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
43 resubcl 10547 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) ∈ ℝ)
4425, 31, 43sylancl 574 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) ∈ ℝ)
45 remulcl 10223 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) ∈ ℝ) → (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1)) ∈ ℝ)
4637, 44, 45sylancr 575 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1)) ∈ ℝ)
47 flltp1 12809 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ → (𝑁 / (𝑃𝑘)) < ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) + 1))
4825, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) < ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) + 1))
49 1red 10257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 1 ∈ ℝ)
5026zred 11684 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℝ)
5125, 49, 50ltsubaddd 10825 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) < (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ↔ (𝑁 / (𝑃𝑘)) < ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) + 1)))
5248, 51mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) < (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))
53 2pos 11314 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
5437, 53pm3.2i 447 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
55 ltmul2 11076 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) ∈ ℝ ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) < (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ↔ (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1)) < (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
5654, 55mp3an3 1561 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) ∈ ℝ ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℝ) → (((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) < (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ↔ (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1)) < (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
5744, 50, 56syl2anc 573 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) < (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ↔ (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1)) < (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
5852, 57mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1)) < (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))))
5946, 35, 17, 58ltsub2dd 10842 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) < (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) − (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1))))
60 2cnd 11295 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 2 ∈ ℂ)
61 nncn 11230 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
6261ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
6311nncnd 11238 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃𝑘) ∈ ℂ)
6411nnne0d 11267 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃𝑘) ≠ 0)
6560, 62, 63, 64divassd 11038 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) = (2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))))
6625recnd 10270 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℂ)
67 1cnd 10258 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 1 ∈ ℂ)
6860, 66, 67subdid 10688 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1)) = ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − (2 · 1)))
69 2t1e2 11378 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 1) = 2
7069oveq2i 6804 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − (2 · 1)) = ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − 2)
7168, 70syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1)) = ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − 2))
7265, 71oveq12d 6811 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) − (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1))) = ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − 2)))
73 remulcl 10223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ) → (2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℝ)
7437, 25, 73sylancr 575 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℝ)
7574recnd 10270 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℂ)
76 2cn 11293 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
77 nncan 10512 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − 2)) = 2)
7875, 76, 77sylancl 574 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − 2)) = 2)
7972, 78eqtrd 2805 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) − (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1))) = 2)
8059, 79breqtrd 4812 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) < 2)
8130, 36, 38, 42, 80lelttrd 10397 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) < 2)
82 df-2 11281 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
8381, 82syl6breq 4827 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) < (1 + 1))
84 1z 11609 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
85 zleltp1 11630 . . . . . . . 8 ((((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ 1 ↔ ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) < (1 + 1)))
8629, 84, 85sylancl 574 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ 1 ↔ ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) < (1 + 1)))
8783, 86mpbird 247 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ 1)
88 iftrue 4231 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) = 1)
8988breq2d 4798 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → (((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) ↔ ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ 1))
9087, 89syl5ibrcom 237 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0)))
919nnge1d 11265 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 1 ≤ 𝑘)
9291biantrurd 522 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑘 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ↔ (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))))
936adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
9493nnred 11237 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℝ)
95 prmuz2 15615 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
9695adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
97 eluz2b1 11962 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑃))
9897simprbi 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
9996, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 < 𝑃)
10094, 99jca 501 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
101100adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
102 elfzelz 12549 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
103102adantl 467 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
1044adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
105104nnrpd 12073 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
106105adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
107 efexple 25227 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ+) → ((𝑃𝑘) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
108101, 103, 106, 107syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑃𝑘) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
1099nnzd 11683 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
11084a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 1 ∈ ℤ)
111104nnred 11237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
112 1red 10257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℝ)
11337a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 2 ∈ ℝ)
114 1lt2 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 < 2
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 < 2)
116 nnre 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
117116adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
118 0le2 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ≤ 2
11937, 118pm3.2i 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2))
121 nnge1 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
122121adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 ≤ 𝑁)
123 lemul2a 11080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) ∧ 1 ≤ 𝑁) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁))
124112, 117, 120, 122, 123syl31anc 1479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁))
12569, 124syl5eqbrr 4822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 2 ≤ (2 · 𝑁))
126112, 113, 111, 115, 125ltletrd 10399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 < (2 · 𝑁))
127111, 126rplogcld 24596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+)
12894, 99rplogcld 24596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
129127, 128rpdivcld 12092 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ+)
130129rpred 12075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
131130flcld 12807 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℤ)
132131adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℤ)
133 elfz 12539 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))))
134109, 110, 132, 133syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))))
13592, 108, 1343bitr4rd 301 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ (𝑃𝑘) ≤ (2 · 𝑁)))
136135notbid 307 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ ¬ (𝑃𝑘) ≤ (2 · 𝑁)))
137111adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
13811nnred 11237 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)
139137, 138ltnled 10386 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) < (𝑃𝑘) ↔ ¬ (𝑃𝑘) ≤ (2 · 𝑁)))
140136, 139bitr4d 271 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘)))
14116rpge0d 12079 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)))
142141adantrr 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → 0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)))
14311nngt0d 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 0 < (𝑃𝑘))
144 ltdivmul 11100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑃𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃𝑘))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < 1 ↔ (2 · 𝑁) < ((𝑃𝑘) · 1)))
145137, 49, 138, 143, 144syl112anc 1480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < 1 ↔ (2 · 𝑁) < ((𝑃𝑘) · 1)))
14663mulid1d 10259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑃𝑘) · 1) = (𝑃𝑘))
147146breq2d 4798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) < ((𝑃𝑘) · 1) ↔ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘)))
148145, 147bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < 1 ↔ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘)))
149148biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) < (𝑃𝑘) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < 1))
150149impr 442 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < 1)
151 0p1e1 11334 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
152150, 151syl6breqr 4828 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))
15317adantrr 696 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
154 0z 11590 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℤ
155 flbi 12825 . . . . . . . . . . . . 13 ((((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∧ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))))
156153, 154, 155sylancl 574 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∧ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))))
157142, 152, 156mpbir2and 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) = 0)
15824rpge0d 12079 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑘)))
159158adantrr 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑘)))
160116, 21ltaddrp2d 12109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 𝑁))
161612timesd 11477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
162160, 161breqtrrd 4814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (2 · 𝑁))
163162ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑁 < (2 · 𝑁))
164116ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ)
165 lttr 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑁 < (2 · 𝑁) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘)) → 𝑁 < (𝑃𝑘)))
166164, 137, 138, 165syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑁 < (2 · 𝑁) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘)) → 𝑁 < (𝑃𝑘)))
167163, 166mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) < (𝑃𝑘) → 𝑁 < (𝑃𝑘)))
168 ltdivmul 11100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑃𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃𝑘))) → ((𝑁 / (𝑃𝑘)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃𝑘) · 1)))
169164, 49, 138, 143, 168syl112anc 1480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑁 / (𝑃𝑘)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃𝑘) · 1)))
170146breq2d 4798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 < ((𝑃𝑘) · 1) ↔ 𝑁 < (𝑃𝑘)))
171169, 170bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑁 / (𝑃𝑘)) < 1 ↔ 𝑁 < (𝑃𝑘)))
172167, 171sylibrd 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) < (𝑃𝑘) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) < 1))
173172impr 442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) < 1)
174173, 151syl6breqr 4828 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))
17525adantrr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
176 flbi 12825 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∧ (𝑁 / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))))
177175, 154, 176sylancl 574 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∧ (𝑁 / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))))
178159, 174, 177mpbir2and 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) = 0)
179178oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = (2 · 0))
180 2t0e0 11385 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 0) = 0
181179, 180syl6eq 2821 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = 0)
182157, 181oveq12d 6811 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = (0 − 0))
183 0m0e0 11332 . . . . . . . . . 10 (0 − 0) = 0
184182, 183syl6eq 2821 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = 0)
185 0le0 11312 . . . . . . . . 9 0 ≤ 0
186184, 185syl6eqbr 4825 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ 0)
187186expr 444 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) < (𝑃𝑘) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ 0))
188140, 187sylbid 230 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ 0))
189 iffalse 4234 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) = 0)
190189eqcomd 2777 . . . . . . 7 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → 0 = if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0))
191190breq2d 4798 . . . . . 6 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → (((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ 0 ↔ ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0)))
192188, 191mpbidi 231 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0)))
19390, 192pm2.61d 171 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0))
1941, 30, 34, 193fsumle 14738 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0))
195 pcbcctr 25222 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
196131zred 11684 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℝ)
197 flle 12808 . . . . . . . . 9 (((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))
198130, 197syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))
199104nnnn0d 11553 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
20093, 199nnexpcld 13237 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
201200nnred 11237 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
202 bernneq3 13199 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) < (𝑃↑(2 · 𝑁)))
20396, 199, 202syl2anc 573 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) < (𝑃↑(2 · 𝑁)))
204111, 201, 203ltled 10387 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ≤ (𝑃↑(2 · 𝑁)))
205105reeflogd 24591 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (exp‘(log‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
20693nnrpd 12073 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
207104nnzd 11683 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
208 reexplog 24562 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℝ+ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑃↑(2 · 𝑁)) = (exp‘((2 · 𝑁) · (log‘𝑃))))
209206, 207, 208syl2anc 573 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑(2 · 𝑁)) = (exp‘((2 · 𝑁) · (log‘𝑃))))
210209eqcomd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (exp‘((2 · 𝑁) · (log‘𝑃))) = (𝑃↑(2 · 𝑁)))
211204, 205, 2103brtr4d 4818 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (exp‘(log‘(2 · 𝑁))) ≤ (exp‘((2 · 𝑁) · (log‘𝑃))))
212105relogcld 24590 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
213128rpred 12075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (log‘𝑃) ∈ ℝ)
214111, 213remulcld 10272 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
215 efle 15054 . . . . . . . . . . 11 (((log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)) ∈ ℝ) → ((log‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)) ↔ (exp‘(log‘(2 · 𝑁))) ≤ (exp‘((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)))))
216212, 214, 215syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((log‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)) ↔ (exp‘(log‘(2 · 𝑁))) ≤ (exp‘((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)))))
217211, 216mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (log‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)))
218212, 111, 128ledivmul2d 12129 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (log‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) · (log‘𝑃))))
219217, 218mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ≤ (2 · 𝑁))
220196, 130, 111, 198, 219letrd 10396 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ≤ (2 · 𝑁))
221 eluz 11902 . . . . . . . 8 (((⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ≤ (2 · 𝑁)))
222131, 207, 221syl2anc 573 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ≤ (2 · 𝑁)))
223220, 222mpbird 247 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
224 fzss2 12588 . . . . . 6 ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ⊆ (1...(2 · 𝑁)))
225223, 224syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ⊆ (1...(2 · 𝑁)))
226 sumhash 15807 . . . . 5 (((1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin ∧ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ⊆ (1...(2 · 𝑁))) → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) = (♯‘(1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))))
2271, 225, 226syl2anc 573 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) = (♯‘(1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))))
228129rprege0d 12082 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))
229 flge0nn0 12829 . . . . 5 ((((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℕ0)
230 hashfz1 13338 . . . . 5 ((⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))) = (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))
231228, 229, 2303syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (♯‘(1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))) = (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))
232227, 231eqtr2d 2806 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0))
233194, 195, 2323brtr4d 4818 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))
234 simpr 471 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
235 nnnn0 11501 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
236 fzctr 12659 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
237 bccl2 13314 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
238235, 236, 2373syl 18 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
239238adantr 466 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
240234, 239pccld 15762 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
241240nn0zd 11682 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ)
242 efexple 25227 . . 3 (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) ∧ (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ+) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
24394, 99, 241, 105, 242syl211anc 1482 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
244233, 243mpbird 247 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723  ifcif 4225   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468   / cdiv 10886  cn 11222  2c2 11272  0cn0 11494  cz 11579  cuz 11888  +crp 12035  ...cfz 12533  cfl 12799  cexp 13067  Ccbc 13293  chash 13321  Σcsu 14624  expce 14998  cprime 15592   pCnt cpc 15748  logclog 24522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007  df-pi 15009  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593  df-pc 15749  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524
This theorem is referenced by:  bposlem5  25234  bposlem6  25235  chebbnd1lem1  25379
  Copyright terms: Public domain W3C validator