MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpos1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpos1 25228
Description: Bertrand's postulate, checked numerically for 𝑁 ≤ 64, using the prime sequence 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
bpos1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem bpos1
StepHypRef Expression
1 elnnuz 11925 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
2 ax-1 6 . . . 4 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
3 6nn0 11514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 ∈ ℕ0
4 4nn0 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ ℕ0
53, 4deccl 11713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 64 ∈ ℕ0
65nn0rei 11504 . . . . . . . . . . . . . . 15 64 ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 64 ∈ ℝ)
8 8nn0 11516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8 ∈ ℕ0
9 3nn0 11511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℕ0
108, 9deccl 11713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 83 ∈ ℕ0
1110nn0rei 11504 . . . . . . . . . . . . . . 15 83 ∈ ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 83 ∈ ℝ)
13 eluzelre 11898 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 𝑁 ∈ ℝ)
14 4lt10 11878 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 < 10
15 6lt8 11417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 < 8
163, 8, 4, 9, 14, 15decltc 11733 . . . . . . . . . . . . . . 15 64 < 83
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 64 < 83)
18 eluzle 11900 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 83 ≤ 𝑁)
197, 12, 13, 17, 18ltletrd 10398 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 64 < 𝑁)
20 ltnle 10318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((64 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁64))
216, 13, 20sylancr 567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ83) → (64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁64))
2219, 21mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ83) → ¬ 𝑁64)
2322pm2.21d 119 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ83) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
24 83prm 16036 . . . . . . . . . . 11 83 ∈ ℙ
254, 9deccl 11713 . . . . . . . . . . 11 43 ∈ ℕ0
26 2nn0 11510 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
27 eqid 2770 . . . . . . . . . . . 12 43 = 43
28 4t2e8 11382 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 2) = 8
29 3t2e6 11380 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 2) = 6
3026, 4, 9, 27, 3, 28, 29decmul1 11785 . . . . . . . . . . 11 (43 · 2) = 86
31 3lt10 11879 . . . . . . . . . . . 12 3 < 10
32 4lt8 11419 . . . . . . . . . . . 12 4 < 8
334, 8, 9, 9, 31, 32decltc 11733 . . . . . . . . . . 11 43 < 83
34 6nn 11390 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ ℕ
35 3lt6 11407 . . . . . . . . . . . . 13 3 < 6
368, 9, 34, 35declt 11731 . . . . . . . . . . . 12 83 < 86
3736orci 845 . . . . . . . . . . 11 (83 < 86 ∨ 83 = 86)
382, 23, 24, 25, 30, 33, 37bpos1lem 25227 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ43) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
39 43prm 16035 . . . . . . . . . 10 43 ∈ ℙ
4026, 9deccl 11713 . . . . . . . . . 10 23 ∈ ℕ0
41 eqid 2770 . . . . . . . . . . 11 23 = 23
42 2t2e4 11378 . . . . . . . . . . 11 (2 · 2) = 4
4326, 26, 9, 41, 3, 42, 29decmul1 11785 . . . . . . . . . 10 (23 · 2) = 46
44 2lt4 11399 . . . . . . . . . . 11 2 < 4
4526, 4, 9, 9, 31, 44decltc 11733 . . . . . . . . . 10 23 < 43
464, 9, 34, 35declt 11731 . . . . . . . . . . 11 43 < 46
4746orci 845 . . . . . . . . . 10 (43 < 46 ∨ 43 = 46)
482, 38, 39, 40, 43, 45, 47bpos1lem 25227 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ23) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
49 23prm 16032 . . . . . . . . 9 23 ∈ ℙ
50 1nn0 11509 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
5150, 9deccl 11713 . . . . . . . . 9 13 ∈ ℕ0
52 eqid 2770 . . . . . . . . . 10 13 = 13
53 2cn 11292 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
5453mulid2i 10244 . . . . . . . . . 10 (1 · 2) = 2
5526, 50, 9, 52, 3, 54, 29decmul1 11785 . . . . . . . . 9 (13 · 2) = 26
56 1lt2 11395 . . . . . . . . . 10 1 < 2
5750, 26, 9, 9, 31, 56decltc 11733 . . . . . . . . 9 13 < 23
5826, 9, 34, 35declt 11731 . . . . . . . . . 10 23 < 26
5958orci 845 . . . . . . . . 9 (23 < 26 ∨ 23 = 26)
602, 48, 49, 51, 55, 57, 59bpos1lem 25227 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ13) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
61 13prm 16029 . . . . . . . 8 13 ∈ ℙ
62 7nn0 11515 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
63 7t2e14 11848 . . . . . . . 8 (7 · 2) = 14
64 1nn 11232 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
65 7lt10 11875 . . . . . . . . 9 7 < 10
6664, 9, 62, 65declti 11747 . . . . . . . 8 7 < 13
67 4nn 11388 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ
68 3lt4 11398 . . . . . . . . . 10 3 < 4
6950, 9, 67, 68declt 11731 . . . . . . . . 9 13 < 14
7069orci 845 . . . . . . . 8 (13 < 14 ∨ 13 = 14)
712, 60, 61, 62, 63, 66, 70bpos1lem 25227 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘7) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
72 7prm 16023 . . . . . . 7 7 ∈ ℙ
73 5nn0 11513 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
74 5t2e10 11834 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
75 5lt7 11411 . . . . . . 7 5 < 7
7665orci 845 . . . . . . 7 (7 < 10 ∨ 7 = 10)
772, 71, 72, 73, 74, 75, 76bpos1lem 25227 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
78 5prm 16021 . . . . . 6 5 ∈ ℙ
79 3lt5 11402 . . . . . 6 3 < 5
80 5lt6 11405 . . . . . . 7 5 < 6
8180orci 845 . . . . . 6 (5 < 6 ∨ 5 = 6)
822, 77, 78, 9, 29, 79, 81bpos1lem 25227 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
83 3prm 15612 . . . . 5 3 ∈ ℙ
84 2lt3 11396 . . . . 5 2 < 3
8568orci 845 . . . . 5 (3 < 4 ∨ 3 = 4)
862, 82, 83, 26, 42, 84, 85bpos1lem 25227 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
87 2prm 15611 . . . 4 2 ∈ ℙ
88 eqid 2770 . . . . 5 2 = 2
8988olci 846 . . . 4 (2 < 2 ∨ 2 = 2)
902, 86, 87, 50, 54, 56, 89bpos1lem 25227 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
911, 90sylbi 207 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
9291imp 393 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wrex 3061   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   · cmul 10142   < clt 10275  cle 10276  cn 11221  2c2 11271  3c3 11272  4c4 11273  5c5 11274  6c6 11275  7c7 11276  8c8 11277  cdc 11694  cuz 11887  cprime 15591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-dvds 15189  df-prm 15592
This theorem is referenced by:  bpos  25238
  Copyright terms: Public domain W3C validator