MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpos1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpos1 25002
Description: Bertrand's postulate, checked numerically for 𝑁 ≤ 64, using the prime sequence 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
bpos1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem bpos1
StepHypRef Expression
1 elnnuz 11721 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
2 ax-1 6 . . . 4 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
3 6nn0 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 ∈ ℕ0
4 4nn0 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ ℕ0
53, 4deccl 11509 . . . . . . . . . . . . . . . 16 64 ∈ ℕ0
65nn0rei 11300 . . . . . . . . . . . . . . 15 64 ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 64 ∈ ℝ)
8 8nn0 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8 ∈ ℕ0
9 3nn0 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℕ0
108, 9deccl 11509 . . . . . . . . . . . . . . . 16 83 ∈ ℕ0
1110nn0rei 11300 . . . . . . . . . . . . . . 15 83 ∈ ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 83 ∈ ℝ)
13 eluzelre 11695 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 𝑁 ∈ ℝ)
14 4lt10 11675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 < 10
15 6lt8 11213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 < 8
163, 8, 4, 9, 14, 15decltc 11529 . . . . . . . . . . . . . . 15 64 < 83
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 64 < 83)
18 eluzle 11697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 83 ≤ 𝑁)
197, 12, 13, 17, 18ltletrd 10194 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 64 < 𝑁)
20 ltnle 10114 . . . . . . . . . . . . . 14 ((64 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁64))
216, 13, 20sylancr 695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ83) → (64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁64))
2219, 21mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ83) → ¬ 𝑁64)
2322pm2.21d 118 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ83) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
24 83prm 15824 . . . . . . . . . . 11 83 ∈ ℙ
254, 9deccl 11509 . . . . . . . . . . 11 43 ∈ ℕ0
26 2nn0 11306 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
27 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 43 = 43
28 4t2e8 11178 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 2) = 8
29 3t2e6 11176 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 2) = 6
3026, 4, 9, 27, 3, 28, 29decmul1 11582 . . . . . . . . . . 11 (43 · 2) = 86
31 3lt10 11676 . . . . . . . . . . . 12 3 < 10
32 4lt8 11215 . . . . . . . . . . . 12 4 < 8
334, 8, 9, 9, 31, 32decltc 11529 . . . . . . . . . . 11 43 < 83
34 6nn 11186 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ ℕ
35 3lt6 11203 . . . . . . . . . . . . 13 3 < 6
368, 9, 34, 35declt 11527 . . . . . . . . . . . 12 83 < 86
3736orci 405 . . . . . . . . . . 11 (83 < 86 ∨ 83 = 86)
382, 23, 24, 25, 30, 33, 37bpos1lem 25001 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ43) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
39 43prm 15823 . . . . . . . . . 10 43 ∈ ℙ
4026, 9deccl 11509 . . . . . . . . . 10 23 ∈ ℕ0
41 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 23 = 23
42 2t2e4 11174 . . . . . . . . . . 11 (2 · 2) = 4
4326, 26, 9, 41, 3, 42, 29decmul1 11582 . . . . . . . . . 10 (23 · 2) = 46
44 2lt4 11195 . . . . . . . . . . 11 2 < 4
4526, 4, 9, 9, 31, 44decltc 11529 . . . . . . . . . 10 23 < 43
464, 9, 34, 35declt 11527 . . . . . . . . . . 11 43 < 46
4746orci 405 . . . . . . . . . 10 (43 < 46 ∨ 43 = 46)
482, 38, 39, 40, 43, 45, 47bpos1lem 25001 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ23) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
49 23prm 15820 . . . . . . . . 9 23 ∈ ℙ
50 1nn0 11305 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
5150, 9deccl 11509 . . . . . . . . 9 13 ∈ ℕ0
52 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 13 = 13
53 2cn 11088 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
5453mulid2i 10040 . . . . . . . . . 10 (1 · 2) = 2
5526, 50, 9, 52, 3, 54, 29decmul1 11582 . . . . . . . . 9 (13 · 2) = 26
56 1lt2 11191 . . . . . . . . . 10 1 < 2
5750, 26, 9, 9, 31, 56decltc 11529 . . . . . . . . 9 13 < 23
5826, 9, 34, 35declt 11527 . . . . . . . . . 10 23 < 26
5958orci 405 . . . . . . . . 9 (23 < 26 ∨ 23 = 26)
602, 48, 49, 51, 55, 57, 59bpos1lem 25001 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ13) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
61 13prm 15817 . . . . . . . 8 13 ∈ ℙ
62 7nn0 11311 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
63 7t2e14 11645 . . . . . . . 8 (7 · 2) = 14
64 1nn 11028 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
65 7lt10 11672 . . . . . . . . 9 7 < 10
6664, 9, 62, 65declti 11543 . . . . . . . 8 7 < 13
67 4nn 11184 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ
68 3lt4 11194 . . . . . . . . . 10 3 < 4
6950, 9, 67, 68declt 11527 . . . . . . . . 9 13 < 14
7069orci 405 . . . . . . . 8 (13 < 14 ∨ 13 = 14)
712, 60, 61, 62, 63, 66, 70bpos1lem 25001 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘7) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
72 7prm 15811 . . . . . . 7 7 ∈ ℙ
73 5nn0 11309 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
74 5t2e10 11631 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
75 5lt7 11207 . . . . . . 7 5 < 7
7665orci 405 . . . . . . 7 (7 < 10 ∨ 7 = 10)
772, 71, 72, 73, 74, 75, 76bpos1lem 25001 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
78 5prm 15809 . . . . . 6 5 ∈ ℙ
79 3lt5 11198 . . . . . 6 3 < 5
80 5lt6 11201 . . . . . . 7 5 < 6
8180orci 405 . . . . . 6 (5 < 6 ∨ 5 = 6)
822, 77, 78, 9, 29, 79, 81bpos1lem 25001 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
83 3prm 15400 . . . . 5 3 ∈ ℙ
84 2lt3 11192 . . . . 5 2 < 3
8568orci 405 . . . . 5 (3 < 4 ∨ 3 = 4)
862, 82, 83, 26, 42, 84, 85bpos1lem 25001 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
87 2prm 15399 . . . 4 2 ∈ ℙ
88 eqid 2621 . . . . 5 2 = 2
8988olci 406 . . . 4 (2 < 2 ∨ 2 = 2)
902, 86, 87, 50, 54, 56, 89bpos1lem 25001 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
911, 90sylbi 207 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
9291imp 445 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wrex 2912   class class class wbr 4651  cfv 5886  (class class class)co 6647  cr 9932  0cc0 9933  1c1 9934   · cmul 9938   < clt 10071  cle 10072  cn 11017  2c2 11067  3c3 11068  4c4 11069  5c5 11070  6c6 11071  7c7 11072  8c8 11073  cdc 11490  cuz 11684  cprime 15379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-sup 8345  df-inf 8346  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-rp 11830  df-fz 12324  df-seq 12797  df-exp 12856  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-dvds 14978  df-prm 15380
This theorem is referenced by:  bpos  25012
  Copyright terms: Public domain W3C validator