Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolysum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpolysum 14904
 Description: A sum for Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpolysum ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = (𝑋𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑘,𝑋

Proof of Theorem bpolysum
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0uz 11836 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
31, 2syl6eleq 2813 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
4 elfzelz 12456 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
5 bccl 13224 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
61, 4, 5syl2an 495 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
76nn0cnd 11466 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
8 elfznn0 12547 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9 simpr 479 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
10 bpolycl 14903 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
118, 9, 10syl2anr 496 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
12 fznn0sub 12487 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
1312adantl 473 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
14 nn0p1nn 11445 . . . . . . 7 ((𝑁𝑘) ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑘) + 1) ∈ ℕ)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) + 1) ∈ ℕ)
1615nncnd 11149 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) + 1) ∈ ℂ)
1715nnne0d 11178 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) + 1) ≠ 0)
1811, 16, 17divcld 10914 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
197, 18mulcld 10173 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
20 oveq2 6773 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (𝑁C𝑘) = (𝑁C𝑁))
21 oveq1 6772 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
22 oveq2 6773 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝑁𝑘) = (𝑁𝑁))
2322oveq1d 6780 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁𝑘) + 1) = ((𝑁𝑁) + 1))
2421, 23oveq12d 6783 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)) = ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1)))
2520, 24oveq12d 6783 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1))))
263, 19, 25fsumm1 14600 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) + ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1)))))
27 bcnn 13214 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C𝑁) = 1)
2827adantr 472 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁C𝑁) = 1)
29 nn0cn 11415 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
3029adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
3130subidd 10493 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁𝑁) = 0)
3231oveq1d 6780 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑁) + 1) = (0 + 1))
33 0p1e1 11245 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
3432, 33syl6eq 2774 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑁) + 1) = 1)
3534oveq2d 6781 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1)) = ((𝑁 BernPoly 𝑋) / 1))
36 bpolycl 14903 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
3736div1d 10906 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly 𝑋) / 1) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
3835, 37eqtrd 2758 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1)) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
3928, 38oveq12d 6783 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1))) = (1 · (𝑁 BernPoly 𝑋)))
4036mulid2d 10171 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (1 · (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
4139, 40eqtrd 2758 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1))) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
4241oveq2d 6781 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) + ((𝑁C𝑁) · ((𝑁 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑁) + 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) + (𝑁 BernPoly 𝑋)))
43 bpolyval 14900 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
4443eqcomd 2730 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
45 expcl 12993 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑁) ∈ ℂ)
4645ancoms 468 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋𝑁) ∈ ℂ)
47 fzfid 12887 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
48 fzssp1 12498 . . . . . . . 8 (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...((𝑁 − 1) + 1))
49 ax-1cn 10107 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
50 npcan 10403 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5130, 49, 50sylancl 697 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5251oveq2d 6781 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (0...((𝑁 − 1) + 1)) = (0...𝑁))
5348, 52syl5sseq 3759 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
5453sselda 3709 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
5554, 19syldan 488 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
5647, 55fsumcl 14584 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
5746, 56, 36subaddd 10523 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = (𝑁 BernPoly 𝑋) ↔ (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) + (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑋𝑁)))
5844, 57mpbid 222 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) + (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑋𝑁))
5926, 42, 583eqtrd 2762 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = (𝑋𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  ℂcc 10047  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054   − cmin 10379   / cdiv 10797  ℕcn 11133  ℕ0cn0 11405  ℤcz 11490  ℤ≥cuz 11800  ...cfz 12440  ↑cexp 12975  Ccbc 13204  Σcsu 14536   BernPoly cbp 14897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-oi 8531  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-clim 14339  df-sum 14537  df-bpoly 14898 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator