MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolydiflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpolydiflem 14984
Description: Lemma for bpolydif 14985. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpolydiflem.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
bpolydiflem.2 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
bpolydiflem.3 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
Assertion
Ref Expression
bpolydiflem (𝜑 → ((𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋

Proof of Theorem bpolydiflem
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bpolydiflem.1 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nnnn0d 11543 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 bpolydiflem.2 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4 peano2cn 10400 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 1) ∈ ℂ)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + 1) ∈ ℂ)
6 bpolyval 14979 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 + 1) ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) = (((𝑋 + 1)↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
72, 5, 6syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) = (((𝑋 + 1)↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
8 bpolyval 14979 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
92, 3, 8syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
107, 9oveq12d 6831 . 2 (𝜑 → ((𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑁 BernPoly 𝑋)) = ((((𝑋 + 1)↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)))) − ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))))))
115, 2expcld 13202 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 + 1)↑𝑁) ∈ ℂ)
12 fzfid 12966 . . . 4 (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
13 elfzelz 12535 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
14 bccl 13303 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
152, 13, 14syl2an 495 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
1615nn0cnd 11545 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
17 elfznn0 12626 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18 bpolycl 14982 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 + 1) ∈ ℂ) → (𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) ∈ ℂ)
1917, 5, 18syl2anr 496 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) ∈ ℂ)
20 fzssp1 12577 . . . . . . . . . . 11 (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...((𝑁 − 1) + 1))
211nncnd 11228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
22 ax-1cn 10186 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
23 npcan 10482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2421, 22, 23sylancl 697 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2524oveq2d 6829 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0...((𝑁 − 1) + 1)) = (0...𝑁))
2620, 25syl5sseq 3794 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
2726sselda 3744 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
28 fznn0sub 12566 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
30 nn0p1nn 11524 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑘) ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑘) + 1) ∈ ℕ)
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁𝑘) + 1) ∈ ℕ)
3231nncnd 11228 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁𝑘) + 1) ∈ ℂ)
3331nnne0d 11257 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁𝑘) + 1) ≠ 0)
3419, 32, 33divcld 10993 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
3516, 34mulcld 10252 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
3612, 35fsumcl 14663 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
373, 2expcld 13202 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑁) ∈ ℂ)
38 bpolycl 14982 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
3917, 3, 38syl2anr 496 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
4039, 32, 33divcld 10993 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
4116, 40mulcld 10252 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
4212, 41fsumcl 14663 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
4311, 36, 37, 42sub4d 10633 . 2 (𝜑 → ((((𝑋 + 1)↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)))) − ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))))) = ((((𝑋 + 1)↑𝑁) − (𝑋𝑁)) − (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))))))
44 addcom 10414 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑋 + 1) = (1 + 𝑋))
453, 22, 44sylancl 697 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + 1) = (1 + 𝑋))
4645oveq1d 6828 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 + 1)↑𝑁) = ((1 + 𝑋)↑𝑁))
47 binom1p 14762 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝑋)↑𝑁) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)))
483, 2, 47syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 + 𝑋)↑𝑁) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)))
4946, 48eqtrd 2794 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 + 1)↑𝑁) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)))
50 nn0uz 11915 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
512, 50syl6eleq 2849 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
52 bccl2 13304 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑚) ∈ ℕ)
5352adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑚) ∈ ℕ)
5453nncnd 11228 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑚) ∈ ℂ)
55 elfznn0 12626 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (0...𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ0)
56 expcl 13072 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑚) ∈ ℂ)
573, 55, 56syl2an 495 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑚) ∈ ℂ)
5854, 57mulcld 10252 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) ∈ ℂ)
59 oveq2 6821 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑁 → (𝑁C𝑚) = (𝑁C𝑁))
60 oveq2 6821 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑁 → (𝑋𝑚) = (𝑋𝑁))
6159, 60oveq12d 6831 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) = ((𝑁C𝑁) · (𝑋𝑁)))
6251, 58, 61fsumm1 14679 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) + ((𝑁C𝑁) · (𝑋𝑁))))
63 bcnn 13293 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C𝑁) = 1)
642, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁C𝑁) = 1)
6564oveq1d 6828 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁C𝑁) · (𝑋𝑁)) = (1 · (𝑋𝑁)))
6637mulid2d 10250 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 · (𝑋𝑁)) = (𝑋𝑁))
6765, 66eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁C𝑁) · (𝑋𝑁)) = (𝑋𝑁))
6867oveq2d 6829 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) + ((𝑁C𝑁) · (𝑋𝑁))) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) + (𝑋𝑁)))
6949, 62, 683eqtrd 2798 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 + 1)↑𝑁) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) + (𝑋𝑁)))
7069oveq1d 6828 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 + 1)↑𝑁) − (𝑋𝑁)) = ((Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) + (𝑋𝑁)) − (𝑋𝑁)))
7126sselda 3744 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑚 ∈ (0...𝑁))
7271, 58syldan 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) ∈ ℂ)
7312, 72fsumcl 14663 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) ∈ ℂ)
7473, 37pncand 10585 . . . . . 6 (𝜑 → ((Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) + (𝑋𝑁)) − (𝑋𝑁)) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)))
7570, 74eqtrd 2794 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 + 1)↑𝑁) − (𝑋𝑁)) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)))
76 nnm1nn0 11526 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
771, 76syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
7877, 50syl6eleq 2849 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
79 oveq2 6821 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑁 − 1) → (𝑁C𝑚) = (𝑁C(𝑁 − 1)))
80 oveq2 6821 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑁 − 1) → (𝑋𝑚) = (𝑋↑(𝑁 − 1)))
8179, 80oveq12d 6831 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑁 − 1) → ((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) = ((𝑁C(𝑁 − 1)) · (𝑋↑(𝑁 − 1))))
8278, 72, 81fsumm1 14679 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) = (Σ𝑚 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) + ((𝑁C(𝑁 − 1)) · (𝑋↑(𝑁 − 1)))))
83 1cnd 10248 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
8421, 83, 83subsub4d 10615 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
85 df-2 11271 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
8685oveq2i 6824 . . . . . . . . 9 (𝑁 − 2) = (𝑁 − (1 + 1))
8784, 86syl6eqr 2812 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
8887oveq2d 6829 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...((𝑁 − 1) − 1)) = (0...(𝑁 − 2)))
8988sumeq1d 14630 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)))
90 bcnm1 13308 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C(𝑁 − 1)) = 𝑁)
912, 90syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁C(𝑁 − 1)) = 𝑁)
9291oveq1d 6828 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 − 1)) · (𝑋↑(𝑁 − 1))) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1))))
9389, 92oveq12d 6831 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑚 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) + ((𝑁C(𝑁 − 1)) · (𝑋↑(𝑁 − 1)))) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) + (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1)))))
9475, 82, 933eqtrd 2798 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 + 1)↑𝑁) − (𝑋𝑁)) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) + (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1)))))
95 oveq2 6821 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑁C𝑘) = (𝑁C0))
96 oveq1 6820 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) = (0 BernPoly (𝑋 + 1)))
97 oveq2 6821 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (𝑁𝑘) = (𝑁 − 0))
9897oveq1d 6828 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → ((𝑁𝑘) + 1) = ((𝑁 − 0) + 1))
9996, 98oveq12d 6831 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)) = ((0 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁 − 0) + 1)))
10095, 99oveq12d 6831 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) = ((𝑁C0) · ((0 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁 − 0) + 1))))
10178, 35, 100fsum1p 14681 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) = (((𝑁C0) · ((0 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁 − 0) + 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
102 bpoly0 14980 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 + 1) ∈ ℂ → (0 BernPoly (𝑋 + 1)) = 1)
1035, 102syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 BernPoly (𝑋 + 1)) = 1)
104103oveq1d 6828 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((0 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁 − 0) + 1)) = (1 / ((𝑁 − 0) + 1)))
105104oveq2d 6829 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁C0) · ((0 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁 − 0) + 1))) = ((𝑁C0) · (1 / ((𝑁 − 0) + 1))))
106105oveq1d 6828 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁C0) · ((0 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁 − 0) + 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = (((𝑁C0) · (1 / ((𝑁 − 0) + 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
107101, 106eqtrd 2794 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) = (((𝑁C0) · (1 / ((𝑁 − 0) + 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
108 oveq1 6820 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (0 BernPoly 𝑋))
109108, 98oveq12d 6831 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)) = ((0 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 0) + 1)))
11095, 109oveq12d 6831 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = ((𝑁C0) · ((0 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 0) + 1))))
11178, 41, 110fsum1p 14681 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = (((𝑁C0) · ((0 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 0) + 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
112 bpoly0 14980 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)
1133, 112syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 BernPoly 𝑋) = 1)
114113oveq1d 6828 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((0 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 0) + 1)) = (1 / ((𝑁 − 0) + 1)))
115114oveq2d 6829 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁C0) · ((0 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 0) + 1))) = ((𝑁C0) · (1 / ((𝑁 − 0) + 1))))
116115oveq1d 6828 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁C0) · ((0 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 0) + 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = (((𝑁C0) · (1 / ((𝑁 − 0) + 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
117111, 116eqtrd 2794 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = (((𝑁C0) · (1 / ((𝑁 − 0) + 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
118107, 117oveq12d 6831 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = ((((𝑁C0) · (1 / ((𝑁 − 0) + 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)))) − (((𝑁C0) · (1 / ((𝑁 − 0) + 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))))))
119 0z 11580 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
120 bccl 13303 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁C0) ∈ ℕ0)
1212, 119, 120sylancl 697 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁C0) ∈ ℕ0)
122121nn0cnd 11545 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁C0) ∈ ℂ)
12321subid1d 10573 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 − 0) = 𝑁)
124123, 1eqeltrd 2839 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 − 0) ∈ ℕ)
125124peano2nnd 11229 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 − 0) + 1) ∈ ℕ)
126125nnrecred 11258 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / ((𝑁 − 0) + 1)) ∈ ℝ)
127126recnd 10260 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / ((𝑁 − 0) + 1)) ∈ ℂ)
128122, 127mulcld 10252 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁C0) · (1 / ((𝑁 − 0) + 1))) ∈ ℂ)
129 fzfid 12966 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
130 fzp1ss 12585 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...(𝑁 − 1)))
131119, 130ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...(𝑁 − 1))
132131sseli 3740 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
133132, 35sylan2 492 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
134129, 133fsumcl 14663 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
135132, 41sylan2 492 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
136129, 135fsumcl 14663 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
137128, 134, 136pnpcand 10621 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑁C0) · (1 / ((𝑁 − 0) + 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)))) − (((𝑁C0) · (1 / ((𝑁 − 0) + 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))))) = (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) − Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
138 1zzd 11600 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
139 0zd 11581 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
1401nnzd 11673 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
141 2z 11601 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
142 zsubcl 11611 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 − 2) ∈ ℤ)
143140, 141, 142sylancl 697 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 − 2) ∈ ℤ)
144 fzssp1 12577 . . . . . . . . . . 11 (0...(𝑁 − 2)) ⊆ (0...((𝑁 − 2) + 1))
145 2m1e1 11327 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 − 1) = 1
146145oveq2i 6824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1)
147 2cnd 11285 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
14821, 147, 83subsubd 10612 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
149146, 148syl5reqr 2809 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
150149oveq2d 6829 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0...((𝑁 − 2) + 1)) = (0...(𝑁 − 1)))
151144, 150syl5sseq 3794 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0...(𝑁 − 2)) ⊆ (0...(𝑁 − 1)))
152151sselda 3744 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))) → 𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
153152, 72syldan 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))) → ((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) ∈ ℂ)
154 oveq2 6821 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑘 − 1) → (𝑁C𝑚) = (𝑁C(𝑘 − 1)))
155 oveq2 6821 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑘 − 1) → (𝑋𝑚) = (𝑋↑(𝑘 − 1)))
156154, 155oveq12d 6831 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑘 − 1) → ((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
157138, 139, 143, 153, 156fsumshft 14711 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 2) + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
158149oveq2d 6829 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0 + 1)...((𝑁 − 2) + 1)) = ((0 + 1)...(𝑁 − 1)))
159158sumeq1d 14630 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 2) + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
160157, 159eqtrd 2794 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
161 0p1e1 11324 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
162161oveq1i 6823 . . . . . . . . 9 ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) = (1...(𝑁 − 1))
163162eleq2i 2831 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
164 fzssp1 12577 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...((𝑁 − 1) + 1))
16524oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
166164, 165syl5sseq 3794 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
167166sselda 3744 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
168 bcm1k 13296 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝑘) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)))
169167, 168syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑁C𝑘) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)))
1701adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
171170nncnd 11228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
172 elfznn 12563 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
173172adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
174173nncnd 11228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
175 1cnd 10248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
176171, 174, 175subsubd 10612 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = ((𝑁𝑘) + 1))
177176oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − (𝑘 − 1)) / 𝑘) = (((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘))
178177oveq2d 6829 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘)))
179169, 178eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑁C𝑘) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘)))
180 bpolydiflem.3 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
181180oveq1d 6828 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) / ((𝑁𝑘) + 1)) = ((𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1))) / ((𝑁𝑘) + 1)))
182163, 132sylbir 225 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
183182, 19sylan2 492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) ∈ ℂ)
184182, 39sylan2 492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
185182, 32sylan2 492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑁𝑘) + 1) ∈ ℂ)
186182, 33sylan2 492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑁𝑘) + 1) ≠ 0)
187183, 184, 185, 186divsubdird 11032 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) / ((𝑁𝑘) + 1)) = (((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)) − ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))))
1883adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑋 ∈ ℂ)
189 nnm1nn0 11526 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
190173, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
191188, 190expcld 13202 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑋↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
192174, 191, 185, 186div23d 11030 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1))) / ((𝑁𝑘) + 1)) = ((𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
193181, 187, 1923eqtr3d 2802 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)) − ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = ((𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
194179, 193oveq12d 6831 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)) − ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘)) · ((𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1)))))
195182, 16sylan2 492 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
196183, 185, 186divcld 10993 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
197184, 185, 186divcld 10993 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
198195, 196, 197subdid 10678 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1)) − ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) − ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
199170nnnn0d 11543 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
200190nn0zd 11672 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
201 bccl 13303 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
202199, 200, 201syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
203202nn0cnd 11545 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
204173nnne0d 11257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ≠ 0)
205185, 174, 204divcld 10993 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘) ∈ ℂ)
206174, 185, 186divcld 10993 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
207206, 191mulcld 10252 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
208203, 205, 207mulassd 10255 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘)) · ((𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘) · ((𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))))))
209185, 174, 186, 204divcan6d 11012 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘) · (𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1))) = 1)
210209oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (((((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘) · (𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1))) · (𝑋↑(𝑘 − 1))) = (1 · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
211205, 206, 191mulassd 10255 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (((((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘) · (𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1))) · (𝑋↑(𝑘 − 1))) = ((((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘) · ((𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1)))))
212191mulid2d 10250 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1 · (𝑋↑(𝑘 − 1))) = (𝑋↑(𝑘 − 1)))
213210, 211, 2123eqtr3d 2802 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘) · ((𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) = (𝑋↑(𝑘 − 1)))
214213oveq2d 6829 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘) · ((𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
215208, 214eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁𝑘) + 1) / 𝑘)) · ((𝑘 / ((𝑁𝑘) + 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
216194, 198, 2153eqtr3d 2802 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) − ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
217163, 216sylan2b 493 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))) → (((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) − ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
218217sumeq2dv 14632 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) − ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
219129, 133, 135fsumsub 14719 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) − ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) − Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
220160, 218, 2193eqtr2rd 2801 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) − Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)))
221118, 137, 2203eqtrd 2798 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)))
22294, 221oveq12d 6831 . . 3 (𝜑 → ((((𝑋 + 1)↑𝑁) − (𝑋𝑁)) − (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))))) = ((Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) + (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1)))) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚))))
223 fzfid 12966 . . . . 5 (𝜑 → (0...(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
224223, 153fsumcl 14663 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) ∈ ℂ)
2253, 77expcld 13202 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
22621, 225mulcld 10252 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
227224, 226pncan2d 10586 . . 3 (𝜑 → ((Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚)) + (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1)))) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑁 − 2))((𝑁C𝑚) · (𝑋𝑚))) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1))))
228222, 227eqtrd 2794 . 2 (𝜑 → ((((𝑋 + 1)↑𝑁) − (𝑋𝑁)) − (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) / ((𝑁𝑘) + 1))) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))))) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1))))
22910, 43, 2283eqtrd 2798 1 (𝜑 → ((𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wss 3715  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  cmin 10458   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  0cn0 11484  cz 11569  cuz 11879  ...cfz 12519  cexp 13054  Ccbc 13283  Σcsu 14615   BernPoly cbp 14976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-bpoly 14977
This theorem is referenced by:  bpolydif  14985
  Copyright terms: Public domain W3C validator