MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpoly4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpoly4 14834
Description: The Bernoulli polynomials at four. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
bpoly4 (𝑋 ∈ ℂ → (4 BernPoly 𝑋) = ((((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) + (𝑋↑2)) − (1 / 30)))

Proof of Theorem bpoly4
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4nn0 11349 . . 3 4 ∈ ℕ0
2 bpolyval 14824 . . 3 ((4 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (4 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑4) − Σ𝑘 ∈ (0...(4 − 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)))))
31, 2mpan 706 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → (4 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑4) − Σ𝑘 ∈ (0...(4 − 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)))))
4 4m1e3 11176 . . . . . . 7 (4 − 1) = 3
5 df-3 11118 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
64, 5eqtri 2673 . . . . . 6 (4 − 1) = (2 + 1)
76oveq2i 6701 . . . . 5 (0...(4 − 1)) = (0...(2 + 1))
87sumeq1i 14472 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...(4 − 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(2 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)))
9 2eluzge0 11771 . . . . . . 7 2 ∈ (ℤ‘0)
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → 2 ∈ (ℤ‘0))
11 elfzelz 12380 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12 bccl 13149 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (4C𝑘) ∈ ℕ0)
131, 11, 12sylancr 696 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → (4C𝑘) ∈ ℕ0)
1413nn0cnd 11391 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → (4C𝑘) ∈ ℂ)
1514adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1))) → (4C𝑘) ∈ ℂ)
16 elfznn0 12471 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17 bpolycl 14827 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
1816, 17sylan 487 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
1918ancoms 468 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1))) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
20 4re 11135 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℝ
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 4 ∈ ℝ)
2211zred 11520 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
2321, 22resubcld 10496 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → (4 − 𝑘) ∈ ℝ)
24 peano2re 10247 . . . . . . . . . . 11 ((4 − 𝑘) ∈ ℝ → ((4 − 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → ((4 − 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
2625recnd 10106 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → ((4 − 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
2726adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1))) → ((4 − 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
28 1red 10093 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
295oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...3) = (0...(2 + 1))
3029eleq2i 2722 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...3) ↔ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1)))
31 elfzelz 12380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
3231zred 11520 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℝ)
33 3re 11132 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...3) → 3 ∈ ℝ)
3520a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...3) → 4 ∈ ℝ)
36 elfzle2 12383 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ≤ 3)
37 3lt4 11235 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 < 4
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...3) → 3 < 4)
3932, 34, 35, 36, 38lelttrd 10233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 < 4)
4030, 39sylbir 225 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 𝑘 < 4)
4122, 21posdifd 10652 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → (𝑘 < 4 ↔ 0 < (4 − 𝑘)))
4240, 41mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 0 < (4 − 𝑘))
43 0lt1 10588 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 0 < 1)
4523, 28, 42, 44addgt0d 10640 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 0 < ((4 − 𝑘) + 1))
4645gt0ne0d 10630 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → ((4 − 𝑘) + 1) ≠ 0)
4746adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1))) → ((4 − 𝑘) + 1) ≠ 0)
4819, 27, 47divcld 10839 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1))) → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
4915, 48mulcld 10098 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1))) → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
505eqeq2i 2663 . . . . . . 7 (𝑘 = 3 ↔ 𝑘 = (2 + 1))
51 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 3 → (4C𝑘) = (4C3))
52 4bc3eq4 13155 . . . . . . . . 9 (4C3) = 4
5351, 52syl6eq 2701 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → (4C𝑘) = 4)
54 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 3 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (3 BernPoly 𝑋))
55 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 3 → (4 − 𝑘) = (4 − 3))
5655oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 3 → ((4 − 𝑘) + 1) = ((4 − 3) + 1))
57 4cn 11136 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
58 3cn 11133 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
59 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
60 3p1e4 11191 . . . . . . . . . . . . 13 (3 + 1) = 4
6157, 58, 59, 60subaddrii 10408 . . . . . . . . . . . 12 (4 − 3) = 1
6261oveq1i 6700 . . . . . . . . . . 11 ((4 − 3) + 1) = (1 + 1)
63 df-2 11117 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
6462, 63eqtr4i 2676 . . . . . . . . . 10 ((4 − 3) + 1) = 2
6556, 64syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 3 → ((4 − 𝑘) + 1) = 2)
6654, 65oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)) = ((3 BernPoly 𝑋) / 2))
6753, 66oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑘 = 3 → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (4 · ((3 BernPoly 𝑋) / 2)))
6850, 67sylbir 225 . . . . . 6 (𝑘 = (2 + 1) → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (4 · ((3 BernPoly 𝑋) / 2)))
6910, 49, 68fsump1 14531 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(2 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...2)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) + (4 · ((3 BernPoly 𝑋) / 2))))
7063oveq2i 6701 . . . . . . . 8 (0...2) = (0...(1 + 1))
7170sumeq1i 14472 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ (0...2)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(1 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)))
72 1eluzge0 11770 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (ℤ‘0)
7372a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → 1 ∈ (ℤ‘0))
74 fzssp1 12422 . . . . . . . . . . . 12 (0...(1 + 1)) ⊆ (0...((1 + 1) + 1))
7563oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
7675oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . 12 (0...(2 + 1)) = (0...((1 + 1) + 1))
7774, 76sseqtr4i 3671 . . . . . . . . . . 11 (0...(1 + 1)) ⊆ (0...(2 + 1))
7877sseli 3632 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(1 + 1)) → 𝑘 ∈ (0...(2 + 1)))
7978, 49sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(1 + 1))) → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
8063eqeq2i 2663 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 2 ↔ 𝑘 = (1 + 1))
81 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → (4C𝑘) = (4C2))
82 4bc2eq6 13156 . . . . . . . . . . . 12 (4C2) = 6
8381, 82syl6eq 2701 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → (4C𝑘) = 6)
84 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (2 BernPoly 𝑋))
85 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 2 → (4 − 𝑘) = (4 − 2))
8685oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 2 → ((4 − 𝑘) + 1) = ((4 − 2) + 1))
87 2cn 11129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
88 2p2e4 11182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 + 2) = 4
8957, 87, 87, 88subaddrii 10408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 − 2) = 2
9089oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 − 2) + 1) = (2 + 1)
9190, 5eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 − 2) + 1) = 3
9286, 91syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → ((4 − 𝑘) + 1) = 3)
9384, 92oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)) = ((2 BernPoly 𝑋) / 3))
9483, 93oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 2 → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (6 · ((2 BernPoly 𝑋) / 3)))
9580, 94sylbir 225 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (1 + 1) → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (6 · ((2 BernPoly 𝑋) / 3)))
9673, 79, 95fsump1 14531 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(1 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...1)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) + (6 · ((2 BernPoly 𝑋) / 3))))
97 0p1e1 11170 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 1) = 1
9897oveq2i 6701 . . . . . . . . . . 11 (0...(0 + 1)) = (0...1)
9998sumeq1i 14472 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...1)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)))
100 0nn0 11345 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℕ0
101 nn0uz 11760 . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (ℤ‘0)
102100, 101eleqtri 2728 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ (ℤ‘0)
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → 0 ∈ (ℤ‘0))
104 3nn 11224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℕ
105 nnuz 11761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℕ = (ℤ‘1)
106104, 105eleqtri 2728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ (ℤ‘1)
107 fzss2 12419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 ∈ (ℤ‘1) → (0...1) ⊆ (0...3))
108106, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0...1) ⊆ (0...3)
109 2p1e3 11189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 + 1) = 3
110109oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0...(2 + 1)) = (0...3)
111108, 98, 1103sstr4i 3677 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...(0 + 1)) ⊆ (0...(2 + 1))
112111sseli 3632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...(0 + 1)) → 𝑘 ∈ (0...(2 + 1)))
113112, 49sylan2 490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(0 + 1))) → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
11497eqeq2i 2663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (0 + 1) ↔ 𝑘 = 1)
115 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 1 → (4C𝑘) = (4C1))
116 bcn1 13140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 ∈ ℕ0 → (4C1) = 4)
1171, 116ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4C1) = 4
118115, 117syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → (4C𝑘) = 4)
119 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 1 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (1 BernPoly 𝑋))
120 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 1 → (4 − 𝑘) = (4 − 1))
121120oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 1 → ((4 − 𝑘) + 1) = ((4 − 1) + 1))
1224oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((4 − 1) + 1) = (3 + 1)
123 df-4 11119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 = (3 + 1)
124122, 123eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((4 − 1) + 1) = 4
125121, 124syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 1 → ((4 − 𝑘) + 1) = 4)
126119, 125oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)) = ((1 BernPoly 𝑋) / 4))
127118, 126oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (4 · ((1 BernPoly 𝑋) / 4)))
128114, 127sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (0 + 1) → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (4 · ((1 BernPoly 𝑋) / 4)))
129103, 113, 128fsump1 14531 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...0)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) + (4 · ((1 BernPoly 𝑋) / 4))))
130 0z 11426 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℤ
13159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
132 bpolycl 14827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (0 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
133100, 132mpan 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
134 5cn 11138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 ∈ ℂ
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ ℂ → 5 ∈ ℂ)
136 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
137 5pos 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 5
138136, 137gtneii 10187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 ≠ 0
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ ℂ → 5 ≠ 0)
140133, 135, 139divcld 10839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ ℂ → ((0 BernPoly 𝑋) / 5) ∈ ℂ)
141131, 140mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)) ∈ ℂ)
142 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 0 → (4C𝑘) = (4C0))
143 bcn0 13137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 ∈ ℕ0 → (4C0) = 1)
1441, 143ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4C0) = 1
145142, 144syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 0 → (4C𝑘) = 1)
146 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 0 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (0 BernPoly 𝑋))
147 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 0 → (4 − 𝑘) = (4 − 0))
148147oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 0 → ((4 − 𝑘) + 1) = ((4 − 0) + 1))
14957subid1i 10391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 − 0) = 4
150149oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((4 − 0) + 1) = (4 + 1)
151 4p1e5 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (4 + 1) = 5
152150, 151eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((4 − 0) + 1) = 5
153148, 152syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 0 → ((4 − 𝑘) + 1) = 5)
154146, 153oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 0 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)) = ((0 BernPoly 𝑋) / 5))
155145, 154oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 0 → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)))
156155fsum1 14520 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)))
157130, 141, 156sylancr 696 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)))
158 bpoly0 14825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)
159158oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ ℂ → ((0 BernPoly 𝑋) / 5) = (1 / 5))
160159oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)) = (1 · (1 / 5)))
161134, 138reccli 10793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 5) ∈ ℂ
162161mulid2i 10081 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 · (1 / 5)) = (1 / 5)
163160, 162syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)) = (1 / 5))
164157, 163eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (1 / 5))
165 1nn0 11346 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ0
166 bpolycl 14827 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (1 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
167165, 166mpan 706 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
168 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
1691, 168mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
170 4ne0 11155 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 ≠ 0
171170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → 4 ≠ 0)
172167, 169, 171divcan2d 10841 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (4 · ((1 BernPoly 𝑋) / 4)) = (1 BernPoly 𝑋))
173 bpoly1 14826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))
174172, 173eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (4 · ((1 BernPoly 𝑋) / 4)) = (𝑋 − (1 / 2)))
175164, 174oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...0)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) + (4 · ((1 BernPoly 𝑋) / 4))) = ((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))))
176129, 175eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = ((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))))
17799, 176syl5eqr 2699 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...1)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = ((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))))
178 6cn 11140 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℂ
179178a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → 6 ∈ ℂ)
180 2nn0 11347 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
181 bpolycl 14827 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (2 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
182180, 181mpan 706 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (2 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
18358a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → 3 ∈ ℂ)
184 3ne0 11153 . . . . . . . . . . . 12 3 ≠ 0
185184a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → 3 ≠ 0)
186179, 182, 183, 185div12d 10875 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (6 · ((2 BernPoly 𝑋) / 3)) = ((2 BernPoly 𝑋) · (6 / 3)))
187 3t2e6 11217 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 2) = 6
188178, 58, 87, 184divmuli 10817 . . . . . . . . . . . . 13 ((6 / 3) = 2 ↔ (3 · 2) = 6)
189187, 188mpbir 221 . . . . . . . . . . . 12 (6 / 3) = 2
190189oveq2i 6701 . . . . . . . . . . 11 ((2 BernPoly 𝑋) · (6 / 3)) = ((2 BernPoly 𝑋) · 2)
19187a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
192182, 191mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 BernPoly 𝑋) · 2) = (2 · (2 BernPoly 𝑋)))
193 bpoly2 14832 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (2 BernPoly 𝑋) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
194193oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (2 BernPoly 𝑋)) = (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))
195192, 194eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 BernPoly 𝑋) · 2) = (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))
196190, 195syl5eq 2697 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 BernPoly 𝑋) · (6 / 3)) = (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))
197186, 196eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (6 · ((2 BernPoly 𝑋) / 3)) = (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))
198177, 197oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...1)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) + (6 · ((2 BernPoly 𝑋) / 3))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))
19996, 198eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(1 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))
20071, 199syl5eq 2697 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...2)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))
201 3nn0 11348 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
202 bpolycl 14827 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (3 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
203201, 202mpan 706 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (3 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
204 2ne0 11151 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
205204a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
206169, 203, 191, 205div12d 10875 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (4 · ((3 BernPoly 𝑋) / 2)) = ((3 BernPoly 𝑋) · (4 / 2)))
207 4d2e2 11222 . . . . . . . . 9 (4 / 2) = 2
208207oveq2i 6701 . . . . . . . 8 ((3 BernPoly 𝑋) · (4 / 2)) = ((3 BernPoly 𝑋) · 2)
209203, 191mulcomd 10099 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 BernPoly 𝑋) · 2) = (2 · (3 BernPoly 𝑋)))
210 bpoly3 14833 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (3 BernPoly 𝑋) = (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))
211210oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (3 BernPoly 𝑋)) = (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))
212209, 211eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 BernPoly 𝑋) · 2) = (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))
213208, 212syl5eq 2697 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 BernPoly 𝑋) · (4 / 2)) = (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))
214206, 213eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (4 · ((3 BernPoly 𝑋) / 2)) = (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))
215200, 214oveq12d 6708 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...2)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) + (4 · ((3 BernPoly 𝑋) / 2))) = ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))))
21669, 215eqtrd 2685 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(2 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))))
2178, 216syl5eq 2697 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(4 − 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))))
218217oveq2d 6706 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑4) − Σ𝑘 ∈ (0...(4 − 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑4) − ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))))
219 expcl 12918 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝑋↑4) ∈ ℂ)
2201, 219mpan2 707 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑4) ∈ ℂ)
221 expcl 12918 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
222201, 221mpan2 707 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
223191, 222mulcld 10098 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (𝑋↑3)) ∈ ℂ)
224 sqcl 12965 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
225201, 100deccl 11550 . . . . . . . 8 30 ∈ ℕ0
226225nn0cni 11342 . . . . . . 7 30 ∈ ℂ
227 dfdec10 11535 . . . . . . . . 9 30 = ((10 · 3) + 0)
228 10re 11555 . . . . . . . . . . . 12 10 ∈ ℝ
229228recni 10090 . . . . . . . . . . 11 10 ∈ ℂ
230229, 58mulcli 10083 . . . . . . . . . 10 (10 · 3) ∈ ℂ
231230addid1i 10261 . . . . . . . . 9 ((10 · 3) + 0) = (10 · 3)
232227, 231eqtri 2673 . . . . . . . 8 30 = (10 · 3)
233 10pos 11553 . . . . . . . . . 10 0 < 10
234136, 233gtneii 10187 . . . . . . . . 9 10 ≠ 0
235229, 58, 234, 184mulne0i 10708 . . . . . . . 8 (10 · 3) ≠ 0
236232, 235eqnetri 2893 . . . . . . 7 30 ≠ 0
237226, 236reccli 10793 . . . . . 6 (1 / 30) ∈ ℂ
238237a1i 11 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (1 / 30) ∈ ℂ)
239224, 238subcld 10430 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑2) − (1 / 30)) ∈ ℂ)
240220, 223, 239subsubd 10458 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑4) − ((2 · (𝑋↑3)) − ((𝑋↑2) − (1 / 30)))) = (((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) + ((𝑋↑2) − (1 / 30))))
241161a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (1 / 5) ∈ ℂ)
242 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → 𝑋 ∈ ℂ)
24387, 204reccli 10793 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℂ
244243a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
245242, 244subcld 10430 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
246241, 245addcld 10097 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) ∈ ℂ)
247224, 242subcld 10430 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑2) − 𝑋) ∈ ℂ)
248 6pos 11157 . . . . . . . . . . . 12 0 < 6
249136, 248gtneii 10187 . . . . . . . . . . 11 6 ≠ 0
250178, 249reccli 10793 . . . . . . . . . 10 (1 / 6) ∈ ℂ
251250a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (1 / 6) ∈ ℂ)
252247, 251addcld 10097 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)) ∈ ℂ)
253191, 252mulcld 10098 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))) ∈ ℂ)
254246, 253addcld 10097 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) ∈ ℂ)
25558, 87, 204divcli 10805 . . . . . . . . . . 11 (3 / 2) ∈ ℂ
256255a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (3 / 2) ∈ ℂ)
257256, 224mulcld 10098 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
258222, 257subcld 10430 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) ∈ ℂ)
259244, 242mulcld 10098 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ)
260258, 259addcld 10097 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)) ∈ ℂ)
261191, 260mulcld 10098 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))) ∈ ℂ)
262254, 261addcomd 10276 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))) = ((2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))) + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))))
263191, 258, 259adddid 10102 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))) = ((2 · ((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + (2 · ((1 / 2) · 𝑋))))
264191, 222, 257subdid 10524 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) = ((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))))
26587, 204recidi 10794 . . . . . . . . . 10 (2 · (1 / 2)) = 1
266265oveq1i 6700 . . . . . . . . 9 ((2 · (1 / 2)) · 𝑋) = (1 · 𝑋)
267191, 244, 242mulassd 10101 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · 𝑋) = (2 · ((1 / 2) · 𝑋)))
268 mulid2 10076 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · 𝑋) = 𝑋)
269266, 267, 2683eqtr3a 2709 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((1 / 2) · 𝑋)) = 𝑋)
270264, 269oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · ((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + (2 · ((1 / 2) · 𝑋))) = (((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + 𝑋))
271263, 270eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))) = (((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + 𝑋))
272271oveq1d 6705 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))) + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) = ((((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + 𝑋) + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))))
273191, 257mulcld 10098 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))) ∈ ℂ)
274223, 273subcld 10430 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) ∈ ℂ)
275274, 242, 254addassd 10100 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → ((((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + 𝑋) + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) = (((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))))
276242, 254addcld 10097 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) ∈ ℂ)
277223, 273, 276subsubd 10458 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (𝑋↑3)) − ((2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))) − (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))))) = (((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))))
27858, 87, 204divcan2i 10806 . . . . . . . . . . 11 (2 · (3 / 2)) = 3
279278oveq1i 6700 . . . . . . . . . 10 ((2 · (3 / 2)) · (𝑋↑2)) = (3 · (𝑋↑2))
280191, 256, 224mulassd 10101 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (3 / 2)) · (𝑋↑2)) = (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))))
281279, 280syl5reqr 2700 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))) = (3 · (𝑋↑2)))
282281oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))) − (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))) = ((3 · (𝑋↑2)) − (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))))
283242, 246, 253add12d 10300 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (𝑋 + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))))
284191, 247, 251adddid 10102 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))) = ((2 · ((𝑋↑2) − 𝑋)) + (2 · (1 / 6))))
285191, 224, 242subdid 10524 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((𝑋↑2) − 𝑋)) = ((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋)))
286187oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 / (3 · 2)) = (2 / 6)
28758, 184reccli 10793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 / 3) ∈ ℂ
28858, 87, 287mul32i 10270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((3 · 2) · (1 / 3)) = ((3 · (1 / 3)) · 2)
28958, 184recidi 10794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (3 · (1 / 3)) = 1
290289oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((3 · (1 / 3)) · 2) = (1 · 2)
29187mulid2i 10081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 · 2) = 2
292290, 291eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((3 · (1 / 3)) · 2) = 2
293288, 292eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 · 2) · (1 / 3)) = 2
294187, 178eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 · 2) ∈ ℂ
295187, 249eqnetri 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 · 2) ≠ 0
29687, 294, 287, 295divmuli 10817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 / (3 · 2)) = (1 / 3) ↔ ((3 · 2) · (1 / 3)) = 2)
297293, 296mpbir 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 / (3 · 2)) = (1 / 3)
29887, 178, 249divreci 10808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 / 6) = (2 · (1 / 6))
299286, 297, 2983eqtr3ri 2682 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · (1 / 6)) = (1 / 3)
300299a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (1 / 6)) = (1 / 3))
301285, 300oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · ((𝑋↑2) − 𝑋)) + (2 · (1 / 6))) = (((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋)) + (1 / 3)))
302284, 301eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))) = (((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋)) + (1 / 3)))
303302oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) = (𝑋 + (((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋)) + (1 / 3))))
304191, 224mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
305191, 242mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · 𝑋) ∈ ℂ)
306304, 305subcld 10430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋)) ∈ ℂ)
307287a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (1 / 3) ∈ ℂ)
308242, 306, 307addassd 10100 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + ((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)) = (𝑋 + (((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋)) + (1 / 3))))
309242, 304, 305addsub12d 10453 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + ((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋))) = ((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))))
310309oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + ((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)) = (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)))
311303, 308, 3103eqtr2d 2691 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) = (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)))
312311oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (𝑋 + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3))))
313283, 312eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3))))
314313oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 · (𝑋↑2)) − (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))) = ((3 · (𝑋↑2)) − (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)))))
315242, 305subcld 10430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (2 · 𝑋)) ∈ ℂ)
316304, 315addcld 10097 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) ∈ ℂ)
317241, 245, 316, 307add4d 10302 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3))) = (((1 / 5) + ((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋)))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))))
318241, 304, 315add12d 10300 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 5) + ((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋)))) = ((2 · (𝑋↑2)) + ((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋)))))
319318oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + ((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋)))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))) = (((2 · (𝑋↑2)) + ((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋)))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))))
320241, 315addcld 10097 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) ∈ ℂ)
321245, 307addcld 10097 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3)) ∈ ℂ)
322304, 320, 321addassd 10100 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (((2 · (𝑋↑2)) + ((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋)))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))) = ((2 · (𝑋↑2)) + (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3)))))
323317, 319, 3223eqtrd 2689 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3))) = ((2 · (𝑋↑2)) + (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3)))))
324323oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 · (𝑋↑2)) − (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)))) = ((3 · (𝑋↑2)) − ((2 · (𝑋↑2)) + (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))))))
325183, 224mulcld 10098 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (3 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
326320, 321addcld 10097 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))) ∈ ℂ)
327325, 304, 326subsub4d 10461 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 · (𝑋↑2)) − (2 · (𝑋↑2))) − (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3)))) = ((3 · (𝑋↑2)) − ((2 · (𝑋↑2)) + (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))))))
32858, 87, 59, 109subaddrii 10408 . . . . . . . . . . . 12 (3 − 2) = 1
329328oveq1i 6700 . . . . . . . . . . 11 ((3 − 2) · (𝑋↑2)) = (1 · (𝑋↑2))
330183, 191, 224subdird 10525 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 − 2) · (𝑋↑2)) = ((3 · (𝑋↑2)) − (2 · (𝑋↑2))))
331224mulid2d 10096 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · (𝑋↑2)) = (𝑋↑2))
332329, 330, 3313eqtr3a 2709 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 · (𝑋↑2)) − (2 · (𝑋↑2))) = (𝑋↑2))
333241, 305, 242subsubd 10458 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 5) − ((2 · 𝑋) − 𝑋)) = (((1 / 5) − (2 · 𝑋)) + 𝑋))
334 2txmxeqx 11187 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · 𝑋) − 𝑋) = 𝑋)
335334oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 5) − ((2 · 𝑋) − 𝑋)) = ((1 / 5) − 𝑋))
336241, 305, 242subadd23d 10452 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) − (2 · 𝑋)) + 𝑋) = ((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))))
337333, 335, 3363eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 5) − 𝑋) = ((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))))
338242, 244, 307subsubd 10458 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − ((1 / 2) − (1 / 3))) = ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3)))
339337, 338oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) − 𝑋) + (𝑋 − ((1 / 2) − (1 / 3)))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))))
340243, 287subcli 10395 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 2) − (1 / 3)) ∈ ℂ
341340a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 2) − (1 / 3)) ∈ ℂ)
342241, 242, 341npncand 10454 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) − 𝑋) + (𝑋 − ((1 / 2) − (1 / 3)))) = ((1 / 5) − ((1 / 2) − (1 / 3))))
343 halfthird 11723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 2) − (1 / 3)) = (1 / 6)
344343oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 5) − ((1 / 2) − (1 / 3))) = ((1 / 5) − (1 / 6))
345 5recm6rec 11724 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 5) − (1 / 6)) = (1 / 30)
346344, 345eqtri 2673 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 5) − ((1 / 2) − (1 / 3))) = (1 / 30)
347342, 346syl6eq 2701 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) − 𝑋) + (𝑋 − ((1 / 2) − (1 / 3)))) = (1 / 30))
348339, 347eqtr3d 2687 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))) = (1 / 30))
349332, 348oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 · (𝑋↑2)) − (2 · (𝑋↑2))) − (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3)))) = ((𝑋↑2) − (1 / 30)))
350324, 327, 3493eqtr2d 2691 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 · (𝑋↑2)) − (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)))) = ((𝑋↑2) − (1 / 30)))
351282, 314, 3503eqtrd 2689 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))) − (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))) = ((𝑋↑2) − (1 / 30)))
352351oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (𝑋↑3)) − ((2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))) − (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))))) = ((2 · (𝑋↑3)) − ((𝑋↑2) − (1 / 30))))
353275, 277, 3523eqtr2d 2691 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → ((((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + 𝑋) + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) = ((2 · (𝑋↑3)) − ((𝑋↑2) − (1 / 30))))
354262, 272, 3533eqtrd 2689 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))) = ((2 · (𝑋↑3)) − ((𝑋↑2) − (1 / 30))))
355354oveq2d 6706 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑4) − ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))) = ((𝑋↑4) − ((2 · (𝑋↑3)) − ((𝑋↑2) − (1 / 30)))))
356220, 223subcld 10430 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) ∈ ℂ)
357356, 224, 238addsubassd 10450 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → ((((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) + (𝑋↑2)) − (1 / 30)) = (((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) + ((𝑋↑2) − (1 / 30))))
358240, 355, 3573eqtr4d 2695 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑4) − ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))) = ((((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) + (𝑋↑2)) − (1 / 30)))
3593, 218, 3583eqtrd 2689 1 (𝑋 ∈ ℂ → (4 BernPoly 𝑋) = ((((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) + (𝑋↑2)) − (1 / 30)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  5c5 11111  6c6 11112  0cn0 11330  cz 11415  cdc 11531  cuz 11725  ...cfz 12364  cexp 12900  Ccbc 13129  Σcsu 14460   BernPoly cbp 14821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-bpoly 14822
This theorem is referenced by:  fsumcube  14835
  Copyright terms: Public domain W3C validator