MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpoly2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpoly2 14987
Description: The Bernoulli polynomials at two. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
bpoly2 (𝑋 ∈ ℂ → (2 BernPoly 𝑋) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))

Proof of Theorem bpoly2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn0 11501 . . 3 2 ∈ ℕ0
2 bpolyval 14979 . . 3 ((2 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (2 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑2) − Σ𝑘 ∈ (0...(2 − 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1)))))
31, 2mpan 708 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → (2 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑2) − Σ𝑘 ∈ (0...(2 − 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1)))))
4 2m1e1 11327 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
5 0p1e1 11324 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
64, 5eqtr4i 2785 . . . . . 6 (2 − 1) = (0 + 1)
76oveq2i 6824 . . . . 5 (0...(2 − 1)) = (0...(0 + 1))
87sumeq1i 14627 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...(2 − 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1)))
9 0nn0 11499 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
10 nn0uz 11915 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
119, 10eleqtri 2837 . . . . . . . 8 0 ∈ (ℤ‘0)
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → 0 ∈ (ℤ‘0))
13 0z 11580 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
14 fzpr 12589 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
1615eleq2i 2831 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(0 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ {0, (0 + 1)})
17 vex 3343 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ V
1817elpr 4343 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {0, (0 + 1)} ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = (0 + 1)))
1916, 18bitri 264 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(0 + 1)) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = (0 + 1)))
20 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (2C𝑘) = (2C0))
21 bcn0 13291 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℕ0 → (2C0) = 1)
221, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (2C0) = 1
2320, 22syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (2C𝑘) = 1)
24 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (0 BernPoly 𝑋))
25 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 0 → (2 − 𝑘) = (2 − 0))
2625oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 0 → ((2 − 𝑘) + 1) = ((2 − 0) + 1))
27 2cn 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℂ
2827subid1i 10545 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 − 0) = 2
2928oveq1i 6823 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 − 0) + 1) = (2 + 1)
30 df-3 11272 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 = (2 + 1)
3129, 30eqtr4i 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 − 0) + 1) = 3
3226, 31syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → ((2 − 𝑘) + 1) = 3)
3324, 32oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1)) = ((0 BernPoly 𝑋) / 3))
3423, 33oveq12d 6831 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)))
35 bpoly0 14980 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)
3635oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → ((0 BernPoly 𝑋) / 3) = (1 / 3))
3736oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)) = (1 · (1 / 3)))
38 3cn 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℂ
39 3ne0 11307 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ≠ 0
4038, 39reccli 10947 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 3) ∈ ℂ
4140mulid2i 10235 . . . . . . . . . . . 12 (1 · (1 / 3)) = (1 / 3)
4237, 41syl6eq 2810 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)) = (1 / 3))
4334, 42sylan9eqr 2816 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 0) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (1 / 3))
4443, 40syl6eqel 2847 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 0) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
455eqeq2i 2772 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (0 + 1) ↔ 𝑘 = 1)
46 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → (2C𝑘) = (2C1))
47 bcn1 13294 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℕ0 → (2C1) = 2)
481, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (2C1) = 2
4946, 48syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → (2C𝑘) = 2)
50 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (1 BernPoly 𝑋))
51 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 1 → (2 − 𝑘) = (2 − 1))
5251oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 1 → ((2 − 𝑘) + 1) = ((2 − 1) + 1))
53 ax-1cn 10186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
54 npcan 10482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 − 1) + 1) = 2)
5527, 53, 54mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 − 1) + 1) = 2
5652, 55syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → ((2 − 𝑘) + 1) = 2)
5750, 56oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1)) = ((1 BernPoly 𝑋) / 2))
5849, 57oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (2 · ((1 BernPoly 𝑋) / 2)))
5945, 58sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (0 + 1) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (2 · ((1 BernPoly 𝑋) / 2)))
60 bpoly1 14981 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))
6160oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 BernPoly 𝑋) / 2) = ((𝑋 − (1 / 2)) / 2))
6261oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((1 BernPoly 𝑋) / 2)) = (2 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 2)))
63 halfcn 11439 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) ∈ ℂ
64 subcl 10472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
6563, 64mpan2 709 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
66 2ne0 11305 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
67 divcan2 10885 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 2)) = (𝑋 − (1 / 2)))
6827, 66, 67mp3an23 1565 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ → (2 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 2)) = (𝑋 − (1 / 2)))
6965, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 2)) = (𝑋 − (1 / 2)))
7062, 69eqtrd 2794 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((1 BernPoly 𝑋) / 2)) = (𝑋 − (1 / 2)))
7159, 70sylan9eqr 2816 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = (0 + 1)) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (𝑋 − (1 / 2)))
7265adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = (0 + 1)) → (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
7371, 72eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = (0 + 1)) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
7444, 73jaodan 861 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = (0 + 1))) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
7519, 74sylan2b 493 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(0 + 1))) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
7612, 75, 59fsump1 14686 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...0)((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) + (2 · ((1 BernPoly 𝑋) / 2))))
7742, 40syl6eqel 2847 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)) ∈ ℂ)
7834fsum1 14675 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)))
7913, 77, 78sylancr 698 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)))
8079, 42eqtrd 2794 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (1 / 3))
8180, 70oveq12d 6831 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...0)((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) + (2 · ((1 BernPoly 𝑋) / 2))) = ((1 / 3) + (𝑋 − (1 / 2))))
8276, 81eqtrd 2794 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = ((1 / 3) + (𝑋 − (1 / 2))))
83 addsub12 10486 . . . . . . 7 (((1 / 3) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → ((1 / 3) + (𝑋 − (1 / 2))) = (𝑋 + ((1 / 3) − (1 / 2))))
8440, 63, 83mp3an13 1564 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 3) + (𝑋 − (1 / 2))) = (𝑋 + ((1 / 3) − (1 / 2))))
8563, 40negsubdi2i 10559 . . . . . . . 8 -((1 / 2) − (1 / 3)) = ((1 / 3) − (1 / 2))
86 halfthird 11877 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) − (1 / 3)) = (1 / 6)
8786negeqi 10466 . . . . . . . 8 -((1 / 2) − (1 / 3)) = -(1 / 6)
8885, 87eqtr3i 2784 . . . . . . 7 ((1 / 3) − (1 / 2)) = -(1 / 6)
8988oveq2i 6824 . . . . . 6 (𝑋 + ((1 / 3) − (1 / 2))) = (𝑋 + -(1 / 6))
9084, 89syl6eq 2810 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 3) + (𝑋 − (1 / 2))) = (𝑋 + -(1 / 6)))
91 6cn 11294 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
92 6re 11293 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
93 6pos 11311 . . . . . . . 8 0 < 6
9492, 93gt0ne0ii 10756 . . . . . . 7 6 ≠ 0
9591, 94reccli 10947 . . . . . 6 (1 / 6) ∈ ℂ
96 negsub 10521 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → (𝑋 + -(1 / 6)) = (𝑋 − (1 / 6)))
9795, 96mpan2 709 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + -(1 / 6)) = (𝑋 − (1 / 6)))
9882, 90, 973eqtrd 2798 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (𝑋 − (1 / 6)))
998, 98syl5eq 2806 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(2 − 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (𝑋 − (1 / 6)))
10099oveq2d 6829 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑2) − Σ𝑘 ∈ (0...(2 − 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6))))
101 sqcl 13119 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
102 subsub 10503 . . . 4 (((𝑋↑2) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6))) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
10395, 102mp3an3 1562 . . 3 (((𝑋↑2) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6))) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
104101, 103mpancom 706 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6))) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
1053, 100, 1043eqtrd 2798 1 (𝑋 ∈ ℂ → (2 BernPoly 𝑋) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  {cpr 4323  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  cmin 10458  -cneg 10459   / cdiv 10876  2c2 11262  3c3 11263  6c6 11266  0cn0 11484  cz 11569  cuz 11879  ...cfz 12519  cexp 13054  Ccbc 13283  Σcsu 14615   BernPoly cbp 14976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-bpoly 14977
This theorem is referenced by:  bpoly3  14988  bpoly4  14989
  Copyright terms: Public domain W3C validator