Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpoly0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpoly0 14992
 Description: The value of the Bernoulli polynomials at zero. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpoly0 (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)

Proof of Theorem bpoly0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 11507 . . 3 0 ∈ ℕ0
2 bpolyval 14991 . . 3 ((0 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (0 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑0) − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))))
31, 2mpan 705 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑0) − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))))
4 exp0 13071 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑0) = 1)
54oveq1d 6806 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑0) − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))) = (1 − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))))
6 risefall0lem 14968 . . . . . . 7 (0...(0 − 1)) = ∅
76sumeq1i 14639 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ ∅ ((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))
8 sum0 14663 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ ∅ ((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1))) = 0
97, 8eqtri 2791 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1))) = 0
109oveq2i 6802 . . . 4 (1 − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))) = (1 − 0)
11 1m0e1 11331 . . . 4 (1 − 0) = 1
1210, 11eqtri 2791 . . 3 (1 − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))) = 1
135, 12syl6eq 2819 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑0) − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))) = 1)
143, 13eqtrd 2803 1 (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1629   ∈ wcel 2143  ∅c0 4060  (class class class)co 6791  ℂcc 10134  0cc0 10136  1c1 10137   + caddc 10139   · cmul 10141   − cmin 10466   / cdiv 10884  ℕ0cn0 11492  ...cfz 12532  ↑cexp 13067  Ccbc 13296  Σcsu 14627   BernPoly cbp 14988 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-fal 1635  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-int 4609  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-se 5208  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-sup 8502  df-oi 8569  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13325  df-cj 14050  df-re 14051  df-im 14052  df-sqrt 14186  df-abs 14187  df-clim 14430  df-sum 14628  df-bpoly 14989 This theorem is referenced by:  bpoly1  14993  bpolydiflem  14996  bpoly2  14999  bpoly3  15000  bpoly4  15001
 Copyright terms: Public domain W3C validator