Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj996 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bnj996 31332
 Description: Technical lemma for bnj69 31385. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj996.1 (𝜑 ↔ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
bnj996.2 (𝜓 ↔ ∀𝑖 ∈ ω (suc 𝑖𝑛 → (𝑓‘suc 𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑖) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
bnj996.3 (𝜒 ↔ (𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓))
bnj996.4 (𝜃 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴𝑦 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
bnj996.5 (𝜏 ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚𝑝 = suc 𝑛))
bnj996.6 (𝜂 ↔ (𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖)))
bnj996.13 𝐷 = (ω ∖ {∅})
bnj996.14 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)}
Assertion
Ref Expression
bnj996 𝑓𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑖,𝑛,𝑦   𝐷,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖,𝑛,𝑦   𝑓,𝑋,𝑖,𝑛,𝑦   𝜒,𝑚,𝑝   𝜂,𝑚,𝑝   𝜃,𝑓,𝑖,𝑛   𝜑,𝑖   𝑚,𝑛,𝜃,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑓,𝑚,𝑛,𝑝)   𝜓(𝑦,𝑧,𝑓,𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝜒(𝑦,𝑧,𝑓,𝑖,𝑛)   𝜃(𝑦,𝑧)   𝜏(𝑦,𝑧,𝑓,𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝜂(𝑦,𝑧,𝑓,𝑖,𝑛)   𝐴(𝑧,𝑚,𝑝)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑓,𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑓,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑅(𝑧,𝑚,𝑝)   𝑋(𝑧,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem bnj996
StepHypRef Expression
1 bnj996.4 . . . . 5 (𝜃 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴𝑦 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
2 bnj996.1 . . . . . 6 (𝜑 ↔ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
3 bnj996.2 . . . . . 6 (𝜓 ↔ ∀𝑖 ∈ ω (suc 𝑖𝑛 → (𝑓‘suc 𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑖) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4 bnj996.13 . . . . . 6 𝐷 = (ω ∖ {∅})
5 bnj996.14 . . . . . 6 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)}
6 bnj996.3 . . . . . 6 (𝜒 ↔ (𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓))
72, 3, 4, 5, 6bnj917 31311 . . . . 5 (𝑦 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) → ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖)))
81, 7bnj771 31141 . . . 4 (𝜃 → ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖)))
9 3anass 1081 . . . . . 6 ((𝜒𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (𝜒 ∧ (𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖))))
10 bnj996.6 . . . . . . 7 (𝜂 ↔ (𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖)))
1110anbi2i 732 . . . . . 6 ((𝜒𝜂) ↔ (𝜒 ∧ (𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖))))
129, 11bitr4i 267 . . . . 5 ((𝜒𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (𝜒𝜂))
13123exbii 1925 . . . 4 (∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝜂))
148, 13sylib 208 . . 3 (𝜃 → ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝜂))
15 bnj996.5 . . . . . . . . . 10 (𝜏 ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚𝑝 = suc 𝑛))
166, 4, 15bnj986 31331 . . . . . . . . 9 (𝜒 → ∃𝑚𝑝𝜏)
1716ancli 575 . . . . . . . 8 (𝜒 → (𝜒 ∧ ∃𝑚𝑝𝜏))
18 19.42vv 2032 . . . . . . . 8 (∃𝑚𝑝(𝜒𝜏) ↔ (𝜒 ∧ ∃𝑚𝑝𝜏))
1917, 18sylibr 224 . . . . . . 7 (𝜒 → ∃𝑚𝑝(𝜒𝜏))
2019anim1i 593 . . . . . 6 ((𝜒𝜂) → (∃𝑚𝑝(𝜒𝜏) ∧ 𝜂))
21 19.41vv 2027 . . . . . 6 (∃𝑚𝑝((𝜒𝜏) ∧ 𝜂) ↔ (∃𝑚𝑝(𝜒𝜏) ∧ 𝜂))
2220, 21sylibr 224 . . . . 5 ((𝜒𝜂) → ∃𝑚𝑝((𝜒𝜏) ∧ 𝜂))
23 df-3an 1074 . . . . . 6 ((𝜒𝜏𝜂) ↔ ((𝜒𝜏) ∧ 𝜂))
24232exbii 1924 . . . . 5 (∃𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂) ↔ ∃𝑚𝑝((𝜒𝜏) ∧ 𝜂))
2522, 24sylibr 224 . . . 4 ((𝜒𝜂) → ∃𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂))
26252eximi 1912 . . 3 (∃𝑛𝑖(𝜒𝜂) → ∃𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂))
2714, 26bnj593 31122 . 2 (𝜃 → ∃𝑓𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂))
28 19.37v 2075 . . . . . . . . . 10 (∃𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ (𝜃 → ∃𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
2928exbii 1923 . . . . . . . . 9 (∃𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ ∃𝑚(𝜃 → ∃𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
3029bnj132 31101 . . . . . . . 8 (∃𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ (𝜃 → ∃𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
3130exbii 1923 . . . . . . 7 (∃𝑖𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ ∃𝑖(𝜃 → ∃𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
3231bnj132 31101 . . . . . 6 (∃𝑖𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ (𝜃 → ∃𝑖𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
3332exbii 1923 . . . . 5 (∃𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ ∃𝑛(𝜃 → ∃𝑖𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
3433bnj132 31101 . . . 4 (∃𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ (𝜃 → ∃𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
3534exbii 1923 . . 3 (∃𝑓𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ ∃𝑓(𝜃 → ∃𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
3635bnj132 31101 . 2 (∃𝑓𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ (𝜃 → ∃𝑓𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
3727, 36mpbir 221 1 𝑓𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632  ∃wex 1853   ∈ wcel 2139  {cab 2746  ∀wral 3050  ∃wrex 3051   ∖ cdif 3712  ∅c0 4058  {csn 4321  ∪ ciun 4672  suc csuc 5886   Fn wfn 6044  ‘cfv 6049  ωcom 7230   ∧ w-bnj17 31061   predc-bnj14 31063   FrSe w-bnj15 31067   trClc-bnj18 31069 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055  ax-un 7114 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-tr 4905  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-fn 6052  df-om 7231  df-bnj17 31062  df-bnj18 31070 This theorem is referenced by:  bnj1021  31341
 Copyright terms: Public domain W3C validator