Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj1189 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bnj1189 31051
Description: Technical lemma for bnj69 31052. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1189.1 (𝜑 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅))
bnj1189.2 (𝜓 ↔ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥))
bnj1189.3 (𝜒 ↔ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Assertion
Ref Expression
bnj1189 (𝜑 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bnj1189
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj1189.1 . . . . . 6 (𝜑 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅))
2 n0 3923 . . . . . . 7 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐵)
32biimpi 206 . . . . . 6 (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥𝐵)
41, 3bnj837 30805 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐵)
54ancli 573 . . . 4 (𝜑 → (𝜑 ∧ ∃𝑥 𝑥𝐵))
6 19.42v 1916 . . . 4 (∃𝑥(𝜑𝑥𝐵) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑥 𝑥𝐵))
75, 6sylibr 224 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥(𝜑𝑥𝐵))
8 3simpc 1058 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵𝜒) → (𝑥𝐵𝜒))
9 bnj1189.3 . . . . . . . . . 10 (𝜒 ↔ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
109anbi2i 729 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐵𝜒) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
118, 10sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵𝜒) → (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
12 19.8a 2050 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵𝜒) → ∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
14 df-rex 2915 . . . . . . 7 (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1513, 14sylibr 224 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵𝜒) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
16153comr 1271 . . . . 5 ((𝜒𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
17163expib 1266 . . . 4 (𝜒 → ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
18 simp1 1059 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → 𝜑)
19 simp2 1060 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → 𝑥𝐵)
20 rexnal 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑦𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2120bicomi 214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑦𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2221, 9xchnxbir 323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝜒 ↔ ∃𝑦𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
23 notnotb 304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2423rexbii 3037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑦𝐵 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑦𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2522, 24bitr4i 267 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝜒 ↔ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑅𝑥)
2625biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . 14 𝜒 → ∃𝑦𝐵 𝑦𝑅𝑥)
2726bnj1196 30839 . . . . . . . . . . . . 13 𝜒 → ∃𝑦(𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥))
28273ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦(𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥))
29 3anass 1040 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝐵𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥𝐵 ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)))
3029exbii 1772 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑦(𝑥𝐵𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥) ↔ ∃𝑦(𝑥𝐵 ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)))
31 19.42v 1916 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑦(𝑥𝐵 ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑦(𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)))
3230, 31bitri 264 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑦(𝑥𝐵𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑦(𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)))
3319, 28, 32sylanbrc 697 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦(𝑥𝐵𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥))
34 bnj1189.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜓 ↔ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥))
3533, 34bnj1198 30840 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦𝜓)
36 19.42v 1916 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦(𝜑𝜓) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑦𝜓))
3718, 35, 36sylanbrc 697 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦(𝜑𝜓))
381, 34bnj1190 31050 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → ∃𝑤𝐵𝑧𝐵 ¬ 𝑧𝑅𝑤)
3937, 38bnj593 30789 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦𝑤𝐵𝑧𝐵 ¬ 𝑧𝑅𝑤)
4039bnj937 30816 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑤𝐵𝑧𝐵 ¬ 𝑧𝑅𝑤)
4140bnj1185 30838 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
42413comr 1271 . . . . 5 ((¬ 𝜒𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
43423expib 1266 . . . 4 𝜒 → ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
4417, 43pm2.61i 176 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
457, 44bnj593 30789 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
46 nfre1 3002 . . 3 𝑥𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥
474619.9 2070 . 2 (∃𝑥𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
4845, 47sylib 208 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036  wex 1702  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  wrex 2910  wss 3567  c0 3907   class class class wbr 4644   FrSe w-bnj15 30732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-reg 8482  ax-inf2 8523
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-om 7051  df-1o 7545  df-bnj17 30727  df-bnj14 30729  df-bnj13 30731  df-bnj15 30733  df-bnj18 30735  df-bnj19 30737
This theorem is referenced by:  bnj69  31052
  Copyright terms: Public domain W3C validator