Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj1189 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bnj1189 31415
 Description: Technical lemma for bnj69 31416. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1189.1 (𝜑 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅))
bnj1189.2 (𝜓 ↔ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥))
bnj1189.3 (𝜒 ↔ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Assertion
Ref Expression
bnj1189 (𝜑 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bnj1189
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj1189.1 . . . . . 6 (𝜑 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅))
2 n0 4078 . . . . . . 7 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐵)
32biimpi 206 . . . . . 6 (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥𝐵)
41, 3bnj837 31169 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐵)
54ancli 538 . . . 4 (𝜑 → (𝜑 ∧ ∃𝑥 𝑥𝐵))
6 19.42v 2033 . . . 4 (∃𝑥(𝜑𝑥𝐵) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑥 𝑥𝐵))
75, 6sylibr 224 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥(𝜑𝑥𝐵))
8 3simpc 1146 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵𝜒) → (𝑥𝐵𝜒))
9 bnj1189.3 . . . . . . . . . 10 (𝜒 ↔ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
109anbi2i 609 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐵𝜒) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
118, 10sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵𝜒) → (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
12 19.8a 2206 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵𝜒) → ∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
14 df-rex 3067 . . . . . . 7 (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1513, 14sylibr 224 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵𝜒) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
16153comr 1119 . . . . 5 ((𝜒𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
17163expib 1116 . . . 4 (𝜒 → ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
18 simp1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → 𝜑)
19 simp2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → 𝑥𝐵)
20 rexnal 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑦𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2120bicomi 214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑦𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2221, 9xchnxbir 322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝜒 ↔ ∃𝑦𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
23 notnotb 304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2423rexbii 3189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑦𝐵 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑦𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2522, 24bitr4i 267 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝜒 ↔ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑅𝑥)
2625biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . 14 𝜒 → ∃𝑦𝐵 𝑦𝑅𝑥)
2726bnj1196 31203 . . . . . . . . . . . . 13 𝜒 → ∃𝑦(𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥))
28273ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦(𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥))
29 3anass 1080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝐵𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥𝐵 ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)))
3029exbii 1924 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑦(𝑥𝐵𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥) ↔ ∃𝑦(𝑥𝐵 ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)))
31 19.42v 2033 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑦(𝑥𝐵 ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑦(𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)))
3230, 31bitri 264 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑦(𝑥𝐵𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑦(𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)))
3319, 28, 32sylanbrc 572 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦(𝑥𝐵𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥))
34 bnj1189.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜓 ↔ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥))
3533, 34bnj1198 31204 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦𝜓)
36 19.42v 2033 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦(𝜑𝜓) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑦𝜓))
3718, 35, 36sylanbrc 572 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦(𝜑𝜓))
381, 34bnj1190 31414 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → ∃𝑤𝐵𝑧𝐵 ¬ 𝑧𝑅𝑤)
3937, 38bnj593 31153 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦𝑤𝐵𝑧𝐵 ¬ 𝑧𝑅𝑤)
4039bnj937 31180 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑤𝐵𝑧𝐵 ¬ 𝑧𝑅𝑤)
4140bnj1185 31202 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
42413comr 1119 . . . . 5 ((¬ 𝜒𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
43423expib 1116 . . . 4 𝜒 → ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
4417, 43pm2.61i 176 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
457, 44bnj593 31153 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
46 nfre1 3153 . . 3 𝑥𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥
474619.9 2228 . 2 (∃𝑥𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
4845, 47sylib 208 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071  ∃wex 1852   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3723  ∅c0 4063   class class class wbr 4786   FrSe w-bnj15 31098 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-reg 8653  ax-inf2 8702 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-om 7213  df-1o 7713  df-bnj17 31093  df-bnj14 31095  df-bnj13 31097  df-bnj15 31099  df-bnj18 31101  df-bnj19 31103 This theorem is referenced by:  bnj69  31416
 Copyright terms: Public domain W3C validator