Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj1154 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bnj1154 31374
Description: Property of Fr. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bnj1154 ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem bnj1154
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj658 31128 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅))
2 elisset 3355 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → ∃𝑏 𝑏 = 𝐵)
32bnj708 31133 . . . 4 ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑏 𝑏 = 𝐵)
4 df-fr 5225 . . . . . . . 8 (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑏((𝑏𝐴𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑏𝑦𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
54biimpi 206 . . . . . . 7 (𝑅 Fr 𝐴 → ∀𝑏((𝑏𝐴𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑏𝑦𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
6519.21bi 2206 . . . . . 6 (𝑅 Fr 𝐴 → ((𝑏𝐴𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑏𝑦𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
763impib 1109 . . . . 5 ((𝑅 Fr 𝐴𝑏𝐴𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑏𝑦𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
8 sseq1 3767 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏𝐴𝐵𝐴))
9 neeq1 2994 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
108, 93anbi23d 1551 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑅 Fr 𝐴𝑏𝐴𝑏 ≠ ∅) ↔ (𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)))
11 raleq 3277 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑦𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1211rexeqbi1dv 3286 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑥𝑏𝑦𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1310, 12imbi12d 333 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (((𝑅 Fr 𝐴𝑏𝐴𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑏𝑦𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥) ↔ ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)))
147, 13mpbii 223 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
153, 14bnj593 31122 . . 3 ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑏((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1615bnj937 31149 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
171, 16mpd 15 1 ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072  wal 1630   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  wss 3715  c0 4058   class class class wbr 4804   Fr wfr 5222  w-bnj17 31061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-v 3342  df-in 3722  df-ss 3729  df-fr 5225  df-bnj17 31062
This theorem is referenced by:  bnj1190  31383
  Copyright terms: Public domain W3C validator