Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bndth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bndth 22958
 Description: The Boundedness Theorem. A continuous function from a compact topological space to the reals is bounded (above). (Boundedness below is obtained by applying this theorem to -𝐹.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bndth.1 𝑋 = 𝐽
bndth.2 𝐾 = (topGen‘ran (,))
bndth.3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
bndth.4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
bndth (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝐹𝑦) ≤ 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑦,𝐾   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem bndth
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bndth.4 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2 bndth.1 . . . . . 6 𝑋 = 𝐽
3 bndth.2 . . . . . . . 8 𝐾 = (topGen‘ran (,))
4 retopon 22768 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
53, 4eqeltri 2835 . . . . . . 7 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
65toponunii 20923 . . . . . 6 ℝ = 𝐾
72, 6cnf 21252 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
81, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
9 frn 6214 . . . 4 (𝐹:𝑋⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
11 unieq 4596 . . . . . . 7 (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → 𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
12 imassrn 5635 . . . . . . . . . 10 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ ran (,)
1312unissi 4613 . . . . . . . . 9 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ ran (,)
14 unirnioo 12466 . . . . . . . . 9 ℝ = ran (,)
1513, 14sseqtr4i 3779 . . . . . . . 8 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ ℝ
16 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
17 ltp1 11053 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < (𝑥 + 1))
18 ressxr 10275 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℝ*
19 peano2re 10401 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
2018, 19sseldi 3742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
21 elioomnf 12461 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 + 1) ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)(𝑥 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1))))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (-∞(,)(𝑥 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1))))
2316, 17, 22mpbir2and 995 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝑥 + 1)))
24 df-ov 6816 . . . . . . . . . . 11 (-∞(,)(𝑥 + 1)) = ((,)‘⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩)
25 mnfxr 10288 . . . . . . . . . . . . . . 15 -∞ ∈ ℝ*
2625elexi 3353 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ ∈ V
2726snid 4353 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ {-∞}
28 opelxpi 5305 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ {-∞} ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩ ∈ ({-∞} × ℝ))
2927, 19, 28sylancr 698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → ⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩ ∈ ({-∞} × ℝ))
30 ioof 12464 . . . . . . . . . . . . . 14 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
31 ffun 6209 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 Fun (,)
33 snssi 4484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-∞ ∈ ℝ* → {-∞} ⊆ ℝ*)
3425, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 {-∞} ⊆ ℝ*
35 xpss12 5281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (({-∞} ⊆ ℝ* ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → ({-∞} × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
3634, 18, 35mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . 14 ({-∞} × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
3730fdmi 6213 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
3836, 37sseqtr4i 3779 . . . . . . . . . . . . 13 ({-∞} × ℝ) ⊆ dom (,)
39 funfvima2 6656 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun (,) ∧ ({-∞} × ℝ) ⊆ dom (,)) → (⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩ ∈ ({-∞} × ℝ) → ((,)‘⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))))
4032, 38, 39mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 (⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩ ∈ ({-∞} × ℝ) → ((,)‘⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
4129, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → ((,)‘⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
4224, 41syl5eqel 2843 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (-∞(,)(𝑥 + 1)) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
43 elunii 4593 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (-∞(,)(𝑥 + 1)) ∧ (-∞(,)(𝑥 + 1)) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))) → 𝑥 ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
4423, 42, 43syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
4544ssriv 3748 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ((,) “ ({-∞} × ℝ))
4615, 45eqssi 3760 . . . . . . 7 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) = ℝ
4711, 46syl6eq 2810 . . . . . 6 (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → 𝑢 = ℝ)
4847sseq2d 3774 . . . . 5 (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → (ran 𝐹 𝑢 ↔ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
49 pweq 4305 . . . . . . 7 (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → 𝒫 𝑢 = 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
5049ineq1d 3956 . . . . . 6 (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → (𝒫 𝑢 ∩ Fin) = (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin))
5150rexeqdv 3284 . . . . 5 (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣))
5248, 51imbi12d 333 . . . 4 (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → ((ran 𝐹 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣) ↔ (ran 𝐹 ⊆ ℝ → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣)))
53 bndth.3 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
54 rncmp 21401 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐾t ran 𝐹) ∈ Comp)
5553, 1, 54syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾t ran 𝐹) ∈ Comp)
56 retop 22766 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
573, 56eqeltri 2835 . . . . . 6 𝐾 ∈ Top
586cmpsub 21405 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ) → ((𝐾t ran 𝐹) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐾(ran 𝐹 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣)))
5957, 10, 58sylancr 698 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾t ran 𝐹) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐾(ran 𝐹 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣)))
6055, 59mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐾(ran 𝐹 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣))
61 retopbas 22765 . . . . . . . . 9 ran (,) ∈ TopBases
62 bastg 20972 . . . . . . . . 9 (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
6463, 3sseqtr4i 3779 . . . . . . 7 ran (,) ⊆ 𝐾
6512, 64sstri 3753 . . . . . 6 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ 𝐾
6657elexi 3353 . . . . . . 7 𝐾 ∈ V
6766elpw2 4977 . . . . . 6 (((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∈ 𝒫 𝐾 ↔ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ 𝐾)
6865, 67mpbir 221 . . . . 5 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∈ 𝒫 𝐾
6968a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∈ 𝒫 𝐾)
7052, 60, 69rspcdva 3455 . . 3 (𝜑 → (ran 𝐹 ⊆ ℝ → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣))
7110, 70mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣)
72 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin))
73 elin 3939 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ↔ (𝑣 ∈ 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
7472, 73sylib 208 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → (𝑣 ∈ 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
7574adantrr 755 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) → (𝑣 ∈ 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
7675simprd 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) → 𝑣 ∈ Fin)
7774simpld 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → 𝑣 ∈ 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
7877elpwid 4314 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → 𝑣 ⊆ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
7934sseli 3740 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ {-∞} → 𝑢 ∈ ℝ*)
8079adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑢 ∈ ℝ*)
8118sseli 3740 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℝ*)
8281adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ*)
83 mnflt 12150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℝ → -∞ < 𝑤)
84 xrltnle 10297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ -∞))
8525, 81, 84sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ -∞))
8683, 85mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℝ → ¬ 𝑤 ≤ -∞)
8786adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ¬ 𝑤 ≤ -∞)
88 elsni 4338 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 ∈ {-∞} → 𝑢 = -∞)
8988adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑢 = -∞)
9089breq2d 4816 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤𝑢𝑤 ≤ -∞))
9187, 90mtbird 314 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ¬ 𝑤𝑢)
92 ioo0 12393 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝑢(,)𝑤) = ∅ ↔ 𝑤𝑢))
9379, 81, 92syl2an 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝑢(,)𝑤) = ∅ ↔ 𝑤𝑢))
9493necon3abid 2968 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝑢(,)𝑤) ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑤𝑢))
9591, 94mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑢(,)𝑤) ≠ ∅)
96 df-ioo 12372 . . . . . . . . . . . 12 (,) = (𝑦 ∈ ℝ*, 𝑧 ∈ ℝ* ↦ {𝑣 ∈ ℝ* ∣ (𝑦 < 𝑣𝑣 < 𝑧)})
97 idd 24 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑤𝑥 < 𝑤))
98 xrltle 12175 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑤𝑥𝑤))
99 idd 24 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑢 < 𝑥𝑢 < 𝑥))
100 xrltle 12175 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑢 < 𝑥𝑢𝑥))
10196, 97, 98, 99, 100ixxub 12389 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* ∧ (𝑢(,)𝑤) ≠ ∅) → sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) = 𝑤)
10280, 82, 95, 101syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) = 𝑤)
103 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
104102, 103eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
105104rgen2 3113 . . . . . . . 8 𝑢 ∈ {-∞}∀𝑤 ∈ ℝ sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) ∈ ℝ
106 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑧) = ((,)‘⟨𝑢, 𝑤⟩))
107 df-ov 6816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢(,)𝑤) = ((,)‘⟨𝑢, 𝑤⟩)
108106, 107syl6eqr 2812 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑧) = (𝑢(,)𝑤))
109108supeq1d 8517 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑤⟩ → sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) = sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ))
110109eleq1d 2824 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑤⟩ → (sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
111110ralxp 5419 . . . . . . . 8 (∀𝑧 ∈ ({-∞} × ℝ)sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∀𝑢 ∈ {-∞}∀𝑤 ∈ ℝ sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
112105, 111mpbir 221 . . . . . . 7 𝑧 ∈ ({-∞} × ℝ)sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ
113 ffn 6206 . . . . . . . . 9 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
11430, 113ax-mp 5 . . . . . . . 8 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
115 supeq1 8516 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = ((,)‘𝑧) → sup(𝑤, ℝ*, < ) = sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ))
116115eleq1d 2824 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ((,)‘𝑧) → (sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
117116ralima 6661 . . . . . . . 8 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ({-∞} × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (∀𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∀𝑧 ∈ ({-∞} × ℝ)sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
118114, 36, 117mp2an 710 . . . . . . 7 (∀𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∀𝑧 ∈ ({-∞} × ℝ)sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
119112, 118mpbir 221 . . . . . 6 𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ
120 ssralv 3807 . . . . . 6 (𝑣 ⊆ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → (∀𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ → ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ))
12178, 119, 120mpisyl 21 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
122121adantrr 755 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) → ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
123 fimaxre3 11162 . . . 4 ((𝑣 ∈ Fin ∧ ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
12476, 122, 123syl2anc 696 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
125 simplrr 820 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ran 𝐹 𝑣)
126125sselda 3744 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → 𝑧 𝑣)
127 eluni2 4592 . . . . . . . 8 (𝑧 𝑣 ↔ ∃𝑤𝑣 𝑧𝑤)
128 r19.29r 3211 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑤𝑣 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → ∃𝑤𝑣 (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
129 sspwuni 4763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ ℝ)
13015, 129mpbir 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ
131783ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑣 ⊆ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
132 simp2r 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤𝑣)
133131, 132sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
134130, 133sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ∈ 𝒫 ℝ)
135134elpwid 4314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ⊆ ℝ)
136 simp3l 1244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑧𝑤)
137135, 136sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑧 ∈ ℝ)
138121r19.21bi 3070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ 𝑤𝑣) → sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
139138adantrl 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣)) → sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
1401393adant3 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
141 simp2l 1242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
142135, 18syl6ss 3756 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ⊆ ℝ*)
143 supxrub 12347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ⊆ ℝ*𝑧𝑤) → 𝑧 ≤ sup(𝑤, ℝ*, < ))
144142, 136, 143syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑧 ≤ sup(𝑤, ℝ*, < ))
145 simp3r 1245 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
146137, 140, 141, 144, 145letrd 10386 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑧𝑥)
1471463expia 1115 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣)) → ((𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧𝑥))
148147anassrs 683 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑤𝑣) → ((𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧𝑥))
149148rexlimdva 3169 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑤𝑣 (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧𝑥))
150149adantlrr 759 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑤𝑣 (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧𝑥))
151128, 150syl5 34 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((∃𝑤𝑣 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧𝑥))
152151expdimp 452 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑤𝑣 𝑧𝑤) → (∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥𝑧𝑥))
153127, 152sylan2b 493 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 𝑣) → (∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥𝑧𝑥))
154126, 153syldan 488 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → (∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥𝑧𝑥))
155154ralrimdva 3107 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑥))
156 ffn 6206 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑋)
1578, 156syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
158157ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn 𝑋)
159 breq1 4807 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐹𝑦) → (𝑧𝑥 ↔ (𝐹𝑦) ≤ 𝑥))
160159ralrn 6525 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑋 → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑥 ↔ ∀𝑦𝑋 (𝐹𝑦) ≤ 𝑥))
161158, 160syl 17 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑥 ↔ ∀𝑦𝑋 (𝐹𝑦) ≤ 𝑥))
162155, 161sylibd 229 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → ∀𝑦𝑋 (𝐹𝑦) ≤ 𝑥))
163162reximdva 3155 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝐹𝑦) ≤ 𝑥))
164124, 163mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝐹𝑦) ≤ 𝑥)
16571, 164rexlimddv 3173 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝐹𝑦) ≤ 𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  ∃wrex 3051   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  𝒫 cpw 4302  {csn 4321  ⟨cop 4327  ∪ cuni 4588   class class class wbr 4804   × cxp 5264  dom cdm 5266  ran crn 5267   “ cima 5269  Fun wfun 6043   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  supcsup 8511  ℝcr 10127  1c1 10129   + caddc 10131  -∞cmnf 10264  ℝ*cxr 10265   < clt 10266   ≤ cle 10267  (,)cioo 12368   ↾t crest 16283  topGenctg 16300  Topctop 20900  TopOnctopon 20917  TopBasesctb 20951   Cn ccn 21230  Compccmp 21391 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-ioo 12372  df-rest 16285  df-topgen 16306  df-top 20901  df-topon 20918  df-bases 20952  df-cn 21233  df-cmp 21392 This theorem is referenced by:  evth  22959
 Copyright terms: Public domain W3C validator