Users' Mathboxes Mathbox for Emmett Weisz < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnd2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bnd2d 42753
Description: Deduction form of bnd2 8794. (Contributed by Emmett Weisz, 19-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
bnd2d.1 (𝜑𝐴 ∈ V)
bnd2d.2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜓)
Assertion
Ref Expression
bnd2d (𝜑 → ∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜓))
Distinct variable groups:   𝜓,𝑧   𝑥,𝑧,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem bnd2d
StepHypRef Expression
1 bnd2d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ V)
2 bnd2d.2 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜓)
3 raleq 3168 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦𝐵 𝜓))
4 raleq 3168 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → (∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦𝑧 𝜓))
54anbi2d 740 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → ((𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜓) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦𝑧 𝜓)))
65exbidv 1890 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → (∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜓) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦𝑧 𝜓)))
73, 6imbi12d 333 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) → ((∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜓 → ∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜓)) ↔ (∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦𝐵 𝜓 → ∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦𝑧 𝜓))))
8 0ex 4823 . . . . 5 ∅ ∈ V
98elimel 4183 . . . 4 if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ∈ V
109bnd2 8794 . . 3 (∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦𝐵 𝜓 → ∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ if (𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)∃𝑦𝑧 𝜓))
117, 10dedth 4172 . 2 (𝐴 ∈ V → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜓 → ∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜓)))
121, 2, 11sylc 65 1 (𝜑 → ∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948  ifcif 4119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-reg 8538  ax-inf2 8576
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-r1 8665  df-rank 8666
This theorem is referenced by:  setrec1lem3  42761
  Copyright terms: Public domain W3C validator