Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  blssp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blssp 33784
Description: A ball in the subspace metric. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
blssp.2 𝑁 = (𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆))
Assertion
Ref Expression
blssp (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑌𝑆𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑌(ball‘𝑁)𝑅) = ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ∩ 𝑆))

Proof of Theorem blssp
StepHypRef Expression
1 metxmet 22261 . . 3 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
21ad2antrr 764 . 2 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑌𝑆𝑅 ∈ ℝ+)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 simprl 811 . . 3 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑌𝑆𝑅 ∈ ℝ+)) → 𝑌𝑆)
4 simplr 809 . . . 4 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑌𝑆𝑅 ∈ ℝ+)) → 𝑆𝑋)
5 sseqin2 3925 . . . 4 (𝑆𝑋 ↔ (𝑋𝑆) = 𝑆)
64, 5sylib 208 . . 3 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑌𝑆𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋𝑆) = 𝑆)
73, 6eleqtrrd 2806 . 2 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑌𝑆𝑅 ∈ ℝ+)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝑆))
8 rpxr 11954 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ*)
98ad2antll 767 . 2 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑌𝑆𝑅 ∈ ℝ+)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
10 blssp.2 . . 3 𝑁 = (𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆))
1110blres 22358 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑌(ball‘𝑁)𝑅) = ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ∩ 𝑆))
122, 7, 9, 11syl3anc 1439 1 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑌𝑆𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑌(ball‘𝑁)𝑅) = ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ∩ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  cin 3679  wss 3680   × cxp 5216  cres 5220  cfv 6001  (class class class)co 6765  *cxr 10186  +crp 11946  ∞Metcxmt 19854  Metcme 19855  ballcbl 19856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-mulcl 10111  ax-i2m1 10117
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-rp 11947  df-xadd 12061  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864
This theorem is referenced by:  bndss  33817
  Copyright terms: Public domain W3C validator