MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blssioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blssioo 22820
Description: The balls of the standard real metric space are included in the open real intervals. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
remet.1 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
blssioo ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,)

Proof of Theorem blssioo
Dummy variables 𝑟 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . . 5 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
21rexmet 22816 . . . 4 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
3 blrn 22436 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟)))
42, 3ax-mp 5 . . 3 (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))
5 elxr 12164 . . . . . 6 (𝑟 ∈ ℝ* ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∨ 𝑟 = +∞ ∨ 𝑟 = -∞))
61bl2ioo 22817 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ((𝑦𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)))
7 resubcl 10558 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦𝑟) ∈ ℝ)
8 readdcl 10232 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ)
9 rexr 10298 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑟) ∈ ℝ → (𝑦𝑟) ∈ ℝ*)
10 rexr 10298 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ → (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ*)
11 ioof 12485 . . . . . . . . . . . 12 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
12 ffn 6207 . . . . . . . . . . . 12 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
14 fnovrn 6976 . . . . . . . . . . 11 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (𝑦𝑟) ∈ ℝ* ∧ (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ*) → ((𝑦𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
1513, 14mp3an1 1560 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝑟) ∈ ℝ* ∧ (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ*) → ((𝑦𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
169, 10, 15syl2an 495 . . . . . . . . 9 (((𝑦𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ) → ((𝑦𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
177, 8, 16syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑦𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
186, 17eqeltrd 2840 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
19 oveq2 6823 . . . . . . . . 9 (𝑟 = +∞ → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = (𝑦(ball‘𝐷)+∞))
201remet 22815 . . . . . . . . . 10 𝐷 ∈ (Met‘ℝ)
21 blpnf 22424 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)+∞) = ℝ)
2220, 21mpan 708 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦(ball‘𝐷)+∞) = ℝ)
2319, 22sylan9eqr 2817 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = +∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ℝ)
24 ioomax 12462 . . . . . . . . 9 (-∞(,)+∞) = ℝ
25 ioorebas 12489 . . . . . . . . 9 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
2624, 25eqeltrri 2837 . . . . . . . 8 ℝ ∈ ran (,)
2723, 26syl6eqel 2848 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = +∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
28 oveq2 6823 . . . . . . . . 9 (𝑟 = -∞ → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = (𝑦(ball‘𝐷)-∞))
29 0xr 10299 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
30 nltmnf 12177 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ* → ¬ 0 < -∞)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ¬ 0 < -∞
32 mnfxr 10309 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
33 xbln0 22441 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ*) → ((𝑦(ball‘𝐷)-∞) ≠ ∅ ↔ 0 < -∞))
342, 32, 33mp3an13 1564 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦(ball‘𝐷)-∞) ≠ ∅ ↔ 0 < -∞))
3534necon1bbid 2972 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (¬ 0 < -∞ ↔ (𝑦(ball‘𝐷)-∞) = ∅))
3631, 35mpbii 223 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦(ball‘𝐷)-∞) = ∅)
3728, 36sylan9eqr 2817 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = -∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ∅)
38 iooid 12417 . . . . . . . . 9 (0(,)0) = ∅
39 ioorebas 12489 . . . . . . . . 9 (0(,)0) ∈ ran (,)
4038, 39eqeltrri 2837 . . . . . . . 8 ∅ ∈ ran (,)
4137, 40syl6eqel 2848 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = -∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
4218, 27, 413jaodan 1543 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∨ 𝑟 = +∞ ∨ 𝑟 = -∞)) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
435, 42sylan2b 493 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
44 eleq1 2828 . . . . 5 (𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,)))
4543, 44syl5ibrcom 237 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑧 ∈ ran (,)))
4645rexlimivv 3175 . . 3 (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑧 ∈ ran (,))
474, 46sylbi 207 . 2 (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) → 𝑧 ∈ ran (,))
4847ssriv 3749 1 ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 383  w3o 1071   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  wrex 3052  wss 3716  c0 4059  𝒫 cpw 4303   class class class wbr 4805   × cxp 5265  ran crn 5268  cres 5269  ccom 5271   Fn wfn 6045  wf 6046  cfv 6050  (class class class)co 6815  cr 10148  0cc0 10149   + caddc 10152  +∞cpnf 10284  -∞cmnf 10285  *cxr 10286   < clt 10287  cmin 10479  (,)cioo 12389  abscabs 14194  ∞Metcxmt 19954  Metcme 19955  ballcbl 19956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-sup 8516  df-inf 8517  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-q 12003  df-rp 12047  df-xneg 12160  df-xadd 12161  df-xmul 12162  df-ioo 12393  df-seq 13017  df-exp 13076  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-psmet 19961  df-xmet 19962  df-met 19963  df-bl 19964
This theorem is referenced by:  tgioo  22821
  Copyright terms: Public domain W3C validator