MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blsscls2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blsscls2 22510
Description: A smaller closed ball is contained in a larger open ball. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mopni.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
blcld.3 𝑆 = {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅}
Assertion
Ref Expression
blsscls2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇)) → 𝑆 ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝑅   𝑧,𝑃   𝑧,𝑇   𝑧,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem blsscls2
StepHypRef Expression
1 blcld.3 . 2 𝑆 = {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅}
2 simplr3 1265 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑅 < 𝑇)
3 xmetcl 22337 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑧𝑋) → (𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
433expa 1112 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
54adantlr 753 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
6 simplr1 1261 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
7 simplr2 1263 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ*)
8 xrlelttr 12180 . . . . . . . 8 (((𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅𝑅 < 𝑇) → (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
98expcomd 453 . . . . . . 7 (((𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*) → (𝑅 < 𝑇 → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇)))
105, 6, 7, 9syl3anc 1477 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑅 < 𝑇 → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇)))
112, 10mpd 15 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
12 simp2 1132 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇) → 𝑇 ∈ ℝ*)
13 elbl2 22396 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑇 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
1413an4s 904 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑇 ∈ ℝ*𝑧𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
1512, 14sylanr1 687 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ ((𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇) ∧ 𝑧𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
1615anassrs 683 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
1711, 16sylibrd 249 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇)))
1817ralrimiva 3104 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇)) → ∀𝑧𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇)))
19 rabss 3820 . . 3 ({𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇) ↔ ∀𝑧𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇)))
2018, 19sylibr 224 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇)) → {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇))
211, 20syl5eqss 3790 1 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑇)) → 𝑆 ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  {crab 3054  wss 3715   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  ∞Metcxmt 19933  ballcbl 19935  MetOpencmopn 19938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-bl 19943
This theorem is referenced by:  blcld  22511  blsscls  22513  ubthlem1  28035
  Copyright terms: Public domain W3C validator