MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blpnfctr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blpnfctr 22363
Description: The infinity ball in an extended metric acts like an ultrametric ball in that every point in the ball is also its center. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
blpnfctr ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))

Proof of Theorem blpnfctr
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . . 5 (𝐷 “ ℝ) = (𝐷 “ ℝ)
21xmeter 22360 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 “ ℝ) Er 𝑋)
323ad2ant1 1125 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝐷 “ ℝ) Er 𝑋)
4 simp3 1130 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
51xmetec 22361 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → [𝑃](𝐷 “ ℝ) = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
653adant3 1124 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → [𝑃](𝐷 “ ℝ) = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
74, 6eleqtrrd 2806 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → 𝐴 ∈ [𝑃](𝐷 “ ℝ))
8 elecg 7903 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐴 ∈ [𝑃](𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(𝐷 “ ℝ)𝐴))
98ancoms 468 . . . . 5 ((𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝐴 ∈ [𝑃](𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(𝐷 “ ℝ)𝐴))
1093adant1 1122 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝐴 ∈ [𝑃](𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(𝐷 “ ℝ)𝐴))
117, 10mpbid 222 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → 𝑃(𝐷 “ ℝ)𝐴)
123, 11erthi 7911 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → [𝑃](𝐷 “ ℝ) = [𝐴](𝐷 “ ℝ))
13 pnfxr 10205 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
14 blssm 22345 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋 ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ⊆ 𝑋)
1513, 14mp3an3 1526 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ⊆ 𝑋)
1615sselda 3709 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → 𝐴𝑋)
171xmetec 22361 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → [𝐴](𝐷 “ ℝ) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
1817adantlr 753 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → [𝐴](𝐷 “ ℝ) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
1916, 18syldan 488 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → [𝐴](𝐷 “ ℝ) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
20193impa 1100 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → [𝐴](𝐷 “ ℝ) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
2112, 6, 203eqtr3d 2766 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wss 3680   class class class wbr 4760  ccnv 5217  cima 5221  cfv 6001  (class class class)co 6765   Er wer 7859  [cec 7860  cr 10048  +∞cpnf 10184  *cxr 10186  ∞Metcxmt 19854  ballcbl 19856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-po 5139  df-so 5140  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-er 7862  df-ec 7864  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-2 11192  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-bl 19864
This theorem is referenced by:  metdstri  22776
  Copyright terms: Public domain W3C validator