MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blocnilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blocnilem 27787
Description: Lemma for blocni 27788 and lnocni 27789. If a linear operator is continuous at any point, it is bounded. (Contributed by NM, 17-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blocni.8 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
blocni.d 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
blocni.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
blocni.k 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
blocni.4 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
blocni.5 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
blocni.u 𝑈 ∈ NrmCVec
blocni.w 𝑊 ∈ NrmCVec
blocni.l 𝑇𝐿
blocnilem.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
blocnilem ((𝑃𝑋𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝑇𝐵)

Proof of Theorem blocnilem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blocni.u . . . . . 6 𝑈 ∈ NrmCVec
2 blocnilem.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 blocni.8 . . . . . . 7 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
42, 3imsxmet 27675 . . . . . 6 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
51, 4ax-mp 5 . . . . 5 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋)
6 blocni.w . . . . . 6 𝑊 ∈ NrmCVec
7 eqid 2651 . . . . . . 7 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
8 blocni.d . . . . . . 7 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
97, 8imsxmet 27675 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊)))
106, 9ax-mp 5 . . . . 5 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊))
11 1rp 11874 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
12 blocni.j . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
13 blocni.k . . . . . . 7 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
1412, 13metcnpi3 22398 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊))) ∧ (𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 1 ∈ ℝ+)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1))
1511, 14mpanr2 720 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊))) ∧ 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1))
165, 10, 15mpanl12 718 . . . 4 (𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1))
17 rpreccl 11895 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
1817rpred 11910 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
1918ad2antlr 763 . . . . . . 7 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
20 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
21 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
222, 20, 21, 3imsdval 27669 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋𝑃𝑋) → (𝑥𝐶𝑃) = ((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)))
231, 22mp3an1 1451 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋𝑃𝑋) → (𝑥𝐶𝑃) = ((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)))
2423breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑋𝑃𝑋) → ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 ↔ ((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦))
25 blocni.l . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇𝐿
26 blocni.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
272, 7, 26lnof 27738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
281, 6, 25, 27mp3an 1464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)
2928ffvelrni 6398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝑋 → (𝑇𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊))
3028ffvelrni 6398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃𝑋 → (𝑇𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊))
31 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( −𝑣𝑊) = ( −𝑣𝑊)
32 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (normCV𝑊) = (normCV𝑊)
337, 31, 32, 8imsdval 27669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) = ((normCV𝑊)‘((𝑇𝑥)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑃))))
346, 33mp3an1 1451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑇𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) = ((normCV𝑊)‘((𝑇𝑥)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑃))))
3529, 30, 34syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑋𝑃𝑋) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) = ((normCV𝑊)‘((𝑇𝑥)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑃))))
361, 6, 253pm3.2i 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿)
372, 20, 31, 26lnosub 27742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝑥𝑋𝑃𝑋)) → (𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) = ((𝑇𝑥)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑃)))
3836, 37mpan 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑋𝑃𝑋) → (𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) = ((𝑇𝑥)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑃)))
3938fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑋𝑃𝑋) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) = ((normCV𝑊)‘((𝑇𝑥)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑃))))
4035, 39eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋𝑃𝑋) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) = ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))))
4140breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑋𝑃𝑋) → (((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1 ↔ ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1))
4224, 41imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑋𝑃𝑋) → (((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1) ↔ (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
4342ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝑋𝑥𝑋) → (((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1) ↔ (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
4443adantlr 751 . . . . . . . . . 10 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1) ↔ (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
4544ralbidva 3014 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1) ↔ ∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
46 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (0vec𝑈) → (𝑇𝑧) = (𝑇‘(0vec𝑈)))
4746fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (0vec𝑈) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) = ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))))
48 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (0vec𝑈) → ((normCV𝑈)‘𝑧) = ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈)))
4948oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (0vec𝑈) → ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)) = ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈))))
5047, 49breq12d 4698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (0vec𝑈) → (((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)) ↔ ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈)))))
511a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
52 simpll 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → 𝑃𝑋)
53 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
542, 21nvcl 27644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋) → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
551, 54mpan 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧𝑋 → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈)) → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
57 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
582, 57, 21nvgt0 27657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 ≠ (0vec𝑈) ↔ 0 < ((normCV𝑈)‘𝑧)))
591, 58mpan 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧𝑋 → (𝑧 ≠ (0vec𝑈) ↔ 0 < ((normCV𝑈)‘𝑧)))
6059biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈)) → 0 < ((normCV𝑈)‘𝑧))
6156, 60elrpd 11907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈)) → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ+)
62 rpdivcl 11894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ+) → (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℝ+)
6353, 61, 62syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℝ+)
6463rpcnd 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℂ)
65 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → 𝑧𝑋)
66 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
672, 66nvscl 27609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
6851, 64, 65, 67syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
69 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
702, 69, 20nvpncan2 27636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃𝑋 ∧ ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋) → ((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))
7151, 52, 68, 70syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))
7271fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) = ((normCV𝑈)‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)))
7363rprege0d 11917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))))
742, 66, 21nvsge0 27647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))) ∧ 𝑧𝑋) → ((normCV𝑈)‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
7551, 73, 65, 74syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑈)‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
76 rpcn 11879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℂ)
7776ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → 𝑦 ∈ ℂ)
7855ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
7978recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ)
802, 57, 21nvz 27652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋) → (((normCV𝑈)‘𝑧) = 0 ↔ 𝑧 = (0vec𝑈)))
811, 80mpan 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧𝑋 → (((normCV𝑈)‘𝑧) = 0 ↔ 𝑧 = (0vec𝑈)))
8281necon3bid 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧𝑋 → (((normCV𝑈)‘𝑧) ≠ 0 ↔ 𝑧 ≠ (0vec𝑈)))
8382biimpar 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈)) → ((normCV𝑈)‘𝑧) ≠ 0)
8483adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑈)‘𝑧) ≠ 0)
8577, 79, 84divcan1d 10840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) · ((normCV𝑈)‘𝑧)) = 𝑦)
8672, 75, 853eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) = 𝑦)
87 rpre 11877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
8887leidd 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦𝑦)
8988ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → 𝑦𝑦)
9086, 89eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦)
912, 69nvgcl 27603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃𝑋 ∧ ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋) → (𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) ∈ 𝑋)
9251, 52, 68, 91syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) ∈ 𝑋)
93 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) → (𝑥( −𝑣𝑈)𝑃) = ((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))
9493fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) → ((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) = ((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)))
9594breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) → (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 ↔ ((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦))
9693fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) → (𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) = (𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)))
9796fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) = ((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))))
9897breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) → (((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1 ↔ ((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1))
9995, 98imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) → ((((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1) ↔ (((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
10099rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) ∈ 𝑋 → (∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1) → (((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
10192, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1) → (((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
10290, 101mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1))
10328ffvelrni 6398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧𝑋 → (𝑇𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑊))
1047, 32nvcl 27644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
1056, 103, 104sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧𝑋 → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
106105ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
107 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → 1 ∈ ℝ)
108106, 107, 63lemuldiv2d 11960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) · ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧))) ≤ 1 ↔ ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (1 / (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)))))
10971fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) = (𝑇‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)))
110 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
1112, 66, 110, 26lnomul 27743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑋)) → (𝑇‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑧)))
11236, 111mpan 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑋) → (𝑇‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑧)))
11364, 65, 112syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (𝑇‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑧)))
114109, 113eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑧)))
115114fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) = ((normCV𝑊)‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑧))))
1166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
117103ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (𝑇𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑊))
1187, 110, 32nvsge0 27647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))) ∧ (𝑇𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((normCV𝑊)‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑧))) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) · ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧))))
119116, 73, 117, 118syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑊)‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑧))) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) · ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧))))
120115, 119eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) · ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧))))
121120breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1 ↔ ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) · ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧))) ≤ 1))
122 rpcnne0 11888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
123 rpcnne0 11888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ+ → (((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ ∧ ((normCV𝑈)‘𝑧) ≠ 0))
124 recdiv 10769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ ∧ ((normCV𝑈)‘𝑧) ≠ 0)) → (1 / (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))) = (((normCV𝑈)‘𝑧) / 𝑦))
125122, 123, 124syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ+) → (1 / (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))) = (((normCV𝑈)‘𝑧) / 𝑦))
12653, 61, 125syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (1 / (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))) = (((normCV𝑈)‘𝑧) / 𝑦))
127 rpne0 11886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ≠ 0)
128127ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → 𝑦 ≠ 0)
12979, 77, 128divrec2d 10843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (((normCV𝑈)‘𝑧) / 𝑦) = ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
130126, 129eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)) = (1 / (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))))
131130breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)) ↔ ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (1 / (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)))))
132108, 121, 1313bitr4d 300 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1 ↔ ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
133102, 132sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
134133anassrs 681 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑧 ≠ (0vec𝑈)) → (∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
135134imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑧 ≠ (0vec𝑈)) ∧ ∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
136135an32s 863 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)) ∧ 𝑧 ≠ (0vec𝑈)) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
137 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0vec𝑊) = (0vec𝑊)
1382, 7, 57, 137, 26lno0 27739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇‘(0vec𝑈)) = (0vec𝑊))
1391, 6, 25, 138mp3an 1464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑇‘(0vec𝑈)) = (0vec𝑊)
140139fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) = ((normCV𝑊)‘(0vec𝑊))
141137, 32nvz0 27651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ NrmCVec → ((normCV𝑊)‘(0vec𝑊)) = 0)
1426, 141ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((normCV𝑊)‘(0vec𝑊)) = 0
143140, 142eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) = 0
144 0le0 11148 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≤ 0
145143, 144eqbrtri 4706 . . . . . . . . . . . . . 14 ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ 0
14617rpcnd 11912 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
14757, 21nvz0 27651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈)) = 0)
1481, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈)) = 0
149148oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈))) = ((1 / 𝑦) · 0)
150 mul01 10253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / 𝑦) ∈ ℂ → ((1 / 𝑦) · 0) = 0)
151149, 150syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 𝑦) ∈ ℂ → ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈))) = 0)
152146, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈))) = 0)
153145, 152syl5breqr 4723 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈))))
154153ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈))))
15550, 136, 154pm2.61ne 2908 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
156155ex 449 . . . . . . . . . 10 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) → (∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
157156ralrimdva 2998 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1) → ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
15845, 157sylbid 230 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1) → ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
159158imp 444 . . . . . . 7 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1)) → ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
160 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (1 / 𝑦) → (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧)) = ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
161160breq2d 4697 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (1 / 𝑦) → (((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧)) ↔ ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
162161ralbidv 3015 . . . . . . . 8 (𝑥 = (1 / 𝑦) → (∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧)) ↔ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
163162rspcev 3340 . . . . . . 7 (((1 / 𝑦) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
16419, 159, 163syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
165164ex 449 . . . . 5 ((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
166165rexlimdva 3060 . . . 4 (𝑃𝑋 → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
16716, 166syl5 34 . . 3 (𝑃𝑋 → (𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
168167imp 444 . 2 ((𝑃𝑋𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
169 blocni.5 . . . 4 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
1702, 21, 32, 26, 169, 1, 6isblo3i 27784 . . 3 (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
17125, 170mpbiran 973 . 2 (𝑇𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
172168, 171sylibr 224 1 ((𝑃𝑋𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝑇𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942   class class class wbr 4685  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113   / cdiv 10722  +crp 11870  ∞Metcxmt 19779  MetOpencmopn 19784   CnP ccnp 21077  NrmCVeccnv 27567   +𝑣 cpv 27568  BaseSetcba 27569   ·𝑠OLD cns 27570  0veccn0v 27571  𝑣 cnsb 27572  normCVcnmcv 27573  IndMetcims 27574   LnOp clno 27723   BLnOp cblo 27725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cnp 21080  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ims 27584  df-lno 27727  df-nmoo 27728  df-blo 27729  df-0o 27730
This theorem is referenced by:  blocni  27788  lnocni  27789
  Copyright terms: Public domain W3C validator