Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blhalf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blhalf 22431
 Description: A ball of radius 𝑅 / 2 is contained in a ball of radius 𝑅 centered at any point inside the smaller ball. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
blhalf (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ⊆ (𝑍(ball‘𝑀)𝑅))

Proof of Theorem blhalf
StepHypRef Expression
1 simpll 807 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 simplr 809 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑌𝑋)
3 simprr 813 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))
4 simprl 811 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑅 ∈ ℝ)
54rehalfcld 11491 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
65rexrd 10301 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑅 / 2) ∈ ℝ*)
7 elbl 22414 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋 ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ*) → (𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ↔ (𝑍𝑋 ∧ (𝑌𝑀𝑍) < (𝑅 / 2))))
81, 2, 6, 7syl3anc 1477 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ↔ (𝑍𝑋 ∧ (𝑌𝑀𝑍) < (𝑅 / 2))))
93, 8mpbid 222 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑍𝑋 ∧ (𝑌𝑀𝑍) < (𝑅 / 2)))
109simpld 477 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑍𝑋)
119simprd 482 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌𝑀𝑍) < (𝑅 / 2))
12 xmetcl 22357 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑍𝑋) → (𝑌𝑀𝑍) ∈ ℝ*)
131, 2, 10, 12syl3anc 1477 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌𝑀𝑍) ∈ ℝ*)
14 xrltle 12195 . . . . 5 (((𝑌𝑀𝑍) ∈ ℝ* ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ*) → ((𝑌𝑀𝑍) < (𝑅 / 2) → (𝑌𝑀𝑍) ≤ (𝑅 / 2)))
1513, 6, 14syl2anc 696 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → ((𝑌𝑀𝑍) < (𝑅 / 2) → (𝑌𝑀𝑍) ≤ (𝑅 / 2)))
1611, 15mpd 15 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌𝑀𝑍) ≤ (𝑅 / 2))
175recnd 10280 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑅 / 2) ∈ ℂ)
1817, 17pncand 10605 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (((𝑅 / 2) + (𝑅 / 2)) − (𝑅 / 2)) = (𝑅 / 2))
194recnd 10280 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑅 ∈ ℂ)
20192halvesd 11490 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → ((𝑅 / 2) + (𝑅 / 2)) = 𝑅)
2120oveq1d 6829 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (((𝑅 / 2) + (𝑅 / 2)) − (𝑅 / 2)) = (𝑅 − (𝑅 / 2)))
2218, 21eqtr3d 2796 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑅 / 2) = (𝑅 − (𝑅 / 2)))
2316, 22breqtrd 4830 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌𝑀𝑍) ≤ (𝑅 − (𝑅 / 2)))
24 blss2 22430 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑍𝑋) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑌𝑀𝑍) ≤ (𝑅 − (𝑅 / 2)))) → (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ⊆ (𝑍(ball‘𝑀)𝑅))
251, 2, 10, 5, 4, 23, 24syl33anc 1492 1 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ⊆ (𝑍(ball‘𝑀)𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℝcr 10147   + caddc 10151  ℝ*cxr 10285   < clt 10286   ≤ cle 10287   − cmin 10478   / cdiv 10896  2c2 11282  ∞Metcxmt 19953  ballcbl 19955 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-2 11291  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-bl 19963 This theorem is referenced by:  met2ndci  22548  iscfil3  23291  cfilfcls  23292  iscmet3lem2  23310  lmcau  23331  lgamucov  24984  sstotbnd2  33904  isbnd2  33913  heiborlem8  33948
 Copyright terms: Public domain W3C validator