Theorem blcntr 22438

Description: A ball contains its center. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blcntr	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))

Proof of Theorem blcntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 12043	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ*)
2		rpgt0 12047	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑅)
3	1, 2	jca 501	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅))
4		xblcntr 22436	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
5	3, 4	syl3an3 1169	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  ℝ^*cxr 10275   < clt 10276  ℝ⁺crp 12035  ∞Metcxmt 19946  ballcbl 19948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-map 8011  df-xr 10280  df-rp 12036  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-bl 19956

This theorem is referenced by:  bln0  22440  unirnbl  22445  blssex  22452  neibl  22526  blnei  22527  metss  22533  methaus  22545  met1stc  22546  met2ndci  22547  metrest  22549  prdsxmslem2  22554  metcnp3  22565  tgioo  22819  zdis  22839  metnrmlem2  22883  cnllycmp  22975  nmhmcn  23139  lmmbr  23275  cfilfcls  23291  iscmet3lem2  23309  caubl  23325  caublcls  23326  flimcfil  23331  ellimc3  23863  ulmdvlem1  24374  efopn  24625  logtayl  24627  xrlimcnp  24916  efrlim  24917  lgamucov  24985  cnllysconn  31565  poimirlem30  33772  blbnd  33918  heibor1lem  33940  heibor1  33941  binomcxplemnotnn0  39081  hoiqssbl  41359