MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bl2ioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bl2ioo 22814
Description: A ball in terms of an open interval of reals. (Contributed by NM, 18-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
remet.1 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
bl2ioo ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) = ((𝐴𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem bl2ioo
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . . . . . . . 10 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
21remetdval 22811 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝑥) = (abs‘(𝐴𝑥)))
3 recn 10227 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4 recn 10227 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
5 abssub 14273 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴𝑥)) = (abs‘(𝑥𝐴)))
63, 4, 5syl2an 575 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴𝑥)) = (abs‘(𝑥𝐴)))
72, 6eqtrd 2804 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥𝐴)))
87breq1d 4794 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐷𝑥) < 𝐵 ↔ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵))
98adantlr 686 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐷𝑥) < 𝐵 ↔ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵))
10 absdiflt 14264 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵 ↔ ((𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
11103expb 1112 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵 ↔ ((𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
1211ancoms 455 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵 ↔ ((𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
139, 12bitrd 268 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐷𝑥) < 𝐵 ↔ ((𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
1413pm5.32da 560 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝑥) < 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵)))))
15 3anass 1079 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
1614, 15syl6bbr 278 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝑥) < 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
17 rexr 10286 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
181rexmet 22813 . . . . 5 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
19 elbl 22412 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝑥) < 𝐵)))
2018, 19mp3an1 1558 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝑥) < 𝐵)))
2117, 20sylan2 572 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝑥) < 𝐵)))
22 resubcl 10546 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
23 readdcl 10220 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
24 rexr 10286 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∈ ℝ → (𝐴𝐵) ∈ ℝ*)
25 rexr 10286 . . . . 5 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ*)
26 elioo2 12420 . . . . 5 (((𝐴𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝐴𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
2724, 25, 26syl2an 575 . . . 4 (((𝐴𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
2822, 23, 27syl2anc 565 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
2916, 21, 283bitr4d 300 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵))))
3029eqrdv 2768 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) = ((𝐴𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144   class class class wbr 4784   × cxp 5247  cres 5251  ccom 5253  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135  cr 10136   + caddc 10140  *cxr 10274   < clt 10275  cmin 10467  (,)cioo 12379  abscabs 14181  ∞Metcxmt 19945  ballcbl 19947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-xadd 12151  df-ioo 12383  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955
This theorem is referenced by:  ioo2bl  22815  blssioo  22817  tgioo  22818  iccntr  22843  icccmplem2  22845  reconnlem2  22849  opnreen  22853  lebnumii  22984  opnmbllem  23588  lhop  23998  dvcnvre  24001  dya2icoseg2  30674  opnrebl  32646  opnrebl2  32647  opnmbllem0  33771  iooabslt  40236
  Copyright terms: Public domain W3C validator