Theorem bj-restsnss2 33362

Description: Special case of bj-restsn 33360. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-restsnss2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝑌})

Proof of Theorem bj-restsnss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 3730	. . 3 ⊢ (𝑌 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑌 ∩ 𝐴) = 𝑌)
2		sneq 4332	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∩ 𝐴) = 𝑌 → {(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝑌})
3	1, 2	sylbi 207	. 2 ⊢ (𝑌 ⊆ 𝐴 → {(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝑌})
4		ssexg 4957	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ V)
5	4	ancoms 468	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑌 ∈ V)
6		bj-restsn 33360	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)})
7	6	ancoms 468	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ V) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)})
8	5, 7	syldan 488	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)})
9		eqeq2 2772	. . 3 ⊢ ({(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝑌} → (({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)} ↔ ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝑌}))
10	9	biimpa 502	. 2 ⊢ (({(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝑌} ∧ ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)}) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝑌})
11	3, 8, 10	syl2an2 910	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝑌})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  Vcvv 3341   ∩ cin 3715   ⊆ wss 3716  {csn 4322  (class class class)co 6815   ↾_t crest 16304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pr 5056  ax-un 7116

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-rest 16306

This theorem is referenced by:  bj-restsn0  33363