Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-restsnss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-restsnss 33161
Description: Special case of bj-restsn 33160. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
bj-restsnss ((𝑌𝑉𝐴𝑌) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝐴})

Proof of Theorem bj-restsnss
StepHypRef Expression
1 sseqin2 3850 . . 3 (𝐴𝑌 ↔ (𝑌𝐴) = 𝐴)
2 sneq 4220 . . 3 ((𝑌𝐴) = 𝐴 → {(𝑌𝐴)} = {𝐴})
31, 2sylbi 207 . 2 (𝐴𝑌 → {(𝑌𝐴)} = {𝐴})
4 ssexg 4837 . . . 4 ((𝐴𝑌𝑌𝑉) → 𝐴 ∈ V)
54ancoms 468 . . 3 ((𝑌𝑉𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ V)
6 bj-restsn 33160 . . 3 ((𝑌𝑉𝐴 ∈ V) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌𝐴)})
75, 6syldan 486 . 2 ((𝑌𝑉𝐴𝑌) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌𝐴)})
8 eqeq2 2662 . . 3 ({(𝑌𝐴)} = {𝐴} → (({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌𝐴)} ↔ ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝐴}))
98biimpa 500 . 2 (({(𝑌𝐴)} = {𝐴} ∧ ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌𝐴)}) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝐴})
103, 7, 9syl2an2 892 1 ((𝑌𝑉𝐴𝑌) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607  {csn 4210  (class class class)co 6690  t crest 16128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-rest 16130
This theorem is referenced by:  bj-restsn10  33164  bj-restsnid  33165
  Copyright terms: Public domain W3C validator