Mathbox for BJ < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-pinftynminfty Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-pinftynminfty 33346
 Description: The extended complex numbers +∞ and -∞ are different. (Contributed by BJ, 27-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
bj-pinftynminfty +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem bj-pinftynminfty
StepHypRef Expression
1 pire 24330 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
2 pipos 24332 . . . . . . 7 0 < π
31, 2gt0ne0ii 10677 . . . . . 6 π ≠ 0
43nesymi 2953 . . . . 5 ¬ 0 = π
51renegcli 10455 . . . . . . . 8 -π ∈ ℝ
65rexri 10210 . . . . . . 7 -π ∈ ℝ*
7 0red 10154 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
8 lt0neg2 10648 . . . . . . . . . . 11 (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
91, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0 < π ↔ -π < 0)
102, 9mpbi 220 . . . . . . . . 9 -π < 0
1110a1i 11 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → -π < 0)
12 0re 10153 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
1312, 1, 2ltleii 10273 . . . . . . . . 9 0 ≤ π
1413a1i 11 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → 0 ≤ π)
15 elioc2 12350 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → (0 ∈ (-π(,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 ≤ π)))
167, 11, 14, 15mpbir3and 1382 . . . . . . 7 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → 0 ∈ (-π(,]π))
176, 1, 16mp2an 710 . . . . . 6 0 ∈ (-π(,]π)
18 simpr 479 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → π ∈ ℝ)
195, 12, 1lttri 10276 . . . . . . . . . 10 ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
2010, 2, 19mp2an 710 . . . . . . . . 9 -π < π
2120a1i 11 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → -π < π)
221leidi 10675 . . . . . . . . 9 π ≤ π
2322a1i 11 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → π ≤ π)
24 elioc2 12350 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → (π ∈ (-π(,]π) ↔ (π ∈ ℝ ∧ -π < π ∧ π ≤ π)))
2518, 21, 23, 24mpbir3and 1382 . . . . . . 7 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → π ∈ (-π(,]π))
266, 1, 25mp2an 710 . . . . . 6 π ∈ (-π(,]π)
27 bj-inftyexpiinj 33328 . . . . . 6 ((0 ∈ (-π(,]π) ∧ π ∈ (-π(,]π)) → (0 = π ↔ (inftyexpi ‘0) = (inftyexpi ‘π)))
2817, 26, 27mp2an 710 . . . . 5 (0 = π ↔ (inftyexpi ‘0) = (inftyexpi ‘π))
294, 28mtbi 311 . . . 4 ¬ (inftyexpi ‘0) = (inftyexpi ‘π)
30 df-bj-minfty 33343 . . . . 5 -∞ = (inftyexpi ‘π)
3130eqeq2i 2736 . . . 4 ((inftyexpi ‘0) = -∞ ↔ (inftyexpi ‘0) = (inftyexpi ‘π))
3229, 31mtbir 312 . . 3 ¬ (inftyexpi ‘0) = -∞
33 df-bj-pinfty 33339 . . . 4 +∞ = (inftyexpi ‘0)
3433eqeq1i 2729 . . 3 (+∞ = -∞ ↔ (inftyexpi ‘0) = -∞)
3532, 34mtbir 312 . 2 ¬ +∞ = -∞
3635neir 2899 1 +∞ ≠ -∞
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2896   class class class wbr 4760  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  ℝcr 10048  0cc0 10049  ℝ*cxr 10186   < clt 10187   ≤ cle 10188  -cneg 10380  (,]cioc 12290  πcpi 14917  inftyexpi cinftyexpi 33325  +∞cpinfty 33338  -∞cminfty 33342 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-ef 14918  df-sin 14920  df-cos 14921  df-pi 14923  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-limc 23750  df-dv 23751  df-bj-inftyexpi 33326  df-bj-pinfty 33339  df-bj-minfty 33343 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator