Theorem bj-minftyccb 33421

Description: The class -∞ is an extended complex number. (Contributed by BJ, 27-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-minftyccb	⊢ -∞ ∈ ℂ̅

Proof of Theorem bj-minftyccb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-ccinftyssccbar 33414	. 2 ⊢ ℂ∞ ⊆ ℂ̅
2		df-bj-inftyexpi 33403	. . . . 5 ⊢ inftyexpi = (𝑥 ∈ (-π(,]π) ↦ ⟨𝑥, ℂ⟩)
3	2	funmpt2 6086	. . . 4 ⊢ Fun inftyexpi
4		pire 24407	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
5	4	renegcli 10532	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
6	5	rexri 10287	. . . . . 6 ⊢ -π ∈ ℝ*
7	4	rexri 10287	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ*
8		pipos 24409	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < π
9		0re 10230	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
10	9, 4	ltnegi 10762	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < π ↔ -π < -0)
11	8, 10	mpbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ -π < -0
12		neg0 10517	. . . . . . . 8 ⊢ -0 = 0
13	11, 12	breqtri 4827	. . . . . . 7 ⊢ -π < 0
14	5, 9, 4	lttri 10353	. . . . . . 7 ⊢ ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
15	13, 8, 14	mp2an 710	. . . . . 6 ⊢ -π < π
16		ubioc1 12418	. . . . . 6 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ -π < π) → π ∈ (-π(,]π))
17	6, 7, 15, 16	mp3an 1571	. . . . 5 ⊢ π ∈ (-π(,]π)
18		opex 5079	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝑥, ℂ⟩ ∈ V
19	18, 2	dmmpti 6182	. . . . 5 ⊢ dom inftyexpi = (-π(,]π)
20	17, 19	eleqtrri 2836	. . . 4 ⊢ π ∈ dom inftyexpi
21		fvelrn 6513	. . . 4 ⊢ ((Fun inftyexpi ∧ π ∈ dom inftyexpi ) → (inftyexpi ‘π) ∈ ran inftyexpi )
22	3, 20, 21	mp2an 710	. . 3 ⊢ (inftyexpi ‘π) ∈ ran inftyexpi
23		df-bj-minfty 33420	. . 3 ⊢ -∞ = (inftyexpi ‘π)
24		df-bj-ccinfty 33408	. . 3 ⊢ ℂ∞ = ran inftyexpi
25	22, 23, 24	3eltr4i 2850	. 2 ⊢ -∞ ∈ ℂ∞
26	1, 25	sselii 3739	1 ⊢ -∞ ∈ ℂ̅

Syntax hints:   ∈ wcel 2137  ⟨cop 4325   class class class wbr 4802  dom cdm 5264  ran crn 5265  Fun wfun 6041  ‘cfv 6047  (class class class)co 6811  ℂcc 10124  0cc0 10126  ℝ^*cxr 10263   < clt 10264  -cneg 10457  (,]cioc 12367  πcpi 14994  inftyexpi cinftyexpi 33402  ℂ_∞cccinfty 33407  ℂ̅cccbar 33411  -∞cminfty 33419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204  ax-addf 10205  ax-mulf 10206

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-iin 4673  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-of 7060  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-supp 7462  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-2o 7728  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-pm 8024  df-ixp 8073  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-fsupp 8439  df-fi 8480  df-sup 8511  df-inf 8512  df-oi 8578  df-card 8953  df-cda 9180  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-z 11568  df-dec 11684  df-uz 11878  df-q 11980  df-rp 12024  df-xneg 12137  df-xadd 12138  df-xmul 12139  df-ioo 12370  df-ioc 12371  df-ico 12372  df-icc 12373  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-fl 12785  df-seq 12994  df-exp 13053  df-fac 13253  df-bc 13282  df-hash 13310  df-shft 14004  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-limsup 14399  df-clim 14416  df-rlim 14417  df-sum 14614  df-ef 14995  df-sin 14997  df-cos 14998  df-pi 15000  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-starv 16156  df-sca 16157  df-vsca 16158  df-ip 16159  df-tset 16160  df-ple 16161  df-ds 16164  df-unif 16165  df-hom 16166  df-cco 16167  df-rest 16283  df-topn 16284  df-0g 16302  df-gsum 16303  df-topgen 16304  df-pt 16305  df-prds 16308  df-xrs 16362  df-qtop 16367  df-imas 16368  df-xps 16370  df-mre 16446  df-mrc 16447  df-acs 16449  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-submnd 17535  df-mulg 17740  df-cntz 17948  df-cmn 18393  df-psmet 19938  df-xmet 19939  df-met 19940  df-bl 19941  df-mopn 19942  df-fbas 19943  df-fg 19944  df-cnfld 19947  df-top 20899  df-topon 20916  df-topsp 20937  df-bases 20950  df-cld 21023  df-ntr 21024  df-cls 21025  df-nei 21102  df-lp 21140  df-perf 21141  df-cn 21231  df-cnp 21232  df-haus 21319  df-tx 21565  df-hmeo 21758  df-fil 21849  df-fm 21941  df-flim 21942  df-flf 21943  df-xms 22324  df-ms 22325  df-tms 22326  df-cncf 22880  df-limc 23827  df-dv 23828  df-bj-inftyexpi 33403  df-bj-ccinfty 33408  df-bj-ccbar 33412  df-bj-minfty 33420

This theorem is referenced by: (None)