Mathbox for BJ < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-bary1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-bary1lem1 33491
 Description: Existence and uniqueness (and actual computation) of barycentric coordinates in dimension 1 (complex line). (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
bj-bary1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
bj-bary1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
bj-bary1.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
bj-bary1.neq (𝜑𝐴𝐵)
bj-bary1.s (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
bj-bary1.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
bj-bary1lem1 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))

Proof of Theorem bj-bary1lem1
StepHypRef Expression
1 bj-bary1.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
2 bj-bary1.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
31, 2pncand 10606 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)
4 oveq1 6822 . . . . . 6 ((𝑆 + 𝑇) = 1 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇))
5 pm5.31 613 . . . . . 6 ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆 ∧ ((𝑆 + 𝑇) = 1 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇))) → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → (((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)))
63, 4, 5sylancl 697 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → (((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)))
7 eqtr2 2781 . . . . . 6 ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆) → (1 − 𝑇) = 𝑆)
87eqcomd 2767 . . . . 5 ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆) → 𝑆 = (1 − 𝑇))
96, 8syl6 35 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → 𝑆 = (1 − 𝑇)))
10 oveq1 6822 . . . . . . . 8 (𝑆 = (1 − 𝑇) → (𝑆 · 𝐴) = ((1 − 𝑇) · 𝐴))
1110oveq1d 6830 . . . . . . 7 (𝑆 = (1 − 𝑇) → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
12 eqtr 2780 . . . . . . 7 ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵))) → 𝑋 = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
1311, 12sylan2 492 . . . . . 6 ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇)) → 𝑋 = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
14 1cnd 10269 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
15 bj-bary1.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1614, 2, 15subdird 10700 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)))
1715mulid2d 10271 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
1817oveq1d 6830 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
1916, 18eqtrd 2795 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
2019oveq1d 6830 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)))
2113, 20sylan9eqr 2817 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇))) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)))
2221ex 449 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇)) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵))))
239, 22sylan2d 500 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵))))
242, 15mulcld 10273 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ)
25 bj-bary1.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
262, 25mulcld 10273 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
2715, 24, 26subadd23d 10627 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) = (𝐴 + ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴))))
282, 25, 15subdid 10699 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇 · (𝐵𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
2928eqcomd 2767 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝑇 · (𝐵𝐴)))
3029oveq2d 6831 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴))) = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))))
3127, 30eqtrd 2795 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))))
3231eqeq2d 2771 . . 3 (𝜑 → (𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴)))))
3323, 32sylibd 229 . 2 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴)))))
34 oveq1 6822 . . 3 (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))) → (𝑋𝐴) = ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))) − 𝐴))
3525, 15subcld 10605 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
362, 35mulcld 10273 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 · (𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
3715, 36pncan2d 10607 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))) − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵𝐴)))
3837eqeq2d 2771 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝐴) = ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))) − 𝐴) ↔ (𝑋𝐴) = (𝑇 · (𝐵𝐴))))
3934, 38syl5ib 234 . 2 (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))) → (𝑋𝐴) = (𝑇 · (𝐵𝐴))))
40 eqcom 2768 . . 3 ((𝑋𝐴) = (𝑇 · (𝐵𝐴)) ↔ (𝑇 · (𝐵𝐴)) = (𝑋𝐴))
412, 35mulcomd 10274 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 · (𝐵𝐴)) = ((𝐵𝐴) · 𝑇))
4241eqeq1d 2763 . . . 4 (𝜑 → ((𝑇 · (𝐵𝐴)) = (𝑋𝐴) ↔ ((𝐵𝐴) · 𝑇) = (𝑋𝐴)))
43 bj-bary1.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4443, 15subcld 10605 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℂ)
45 bj-bary1.neq . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
4645necomd 2988 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐴)
4725, 15, 46subne0d 10614 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
4835, 2, 44, 47bj-rdiv 33486 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵𝐴) · 𝑇) = (𝑋𝐴) ↔ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
4948biimpd 219 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵𝐴) · 𝑇) = (𝑋𝐴) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
5042, 49sylbid 230 . . 3 (𝜑 → ((𝑇 · (𝐵𝐴)) = (𝑋𝐴) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
5140, 50syl5bi 232 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝐴) = (𝑇 · (𝐵𝐴)) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
5233, 39, 513syld 60 1 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ≠ wne 2933  (class class class)co 6815  ℂcc 10147  1c1 10150   + caddc 10152   · cmul 10154   − cmin 10479   / cdiv 10897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898 This theorem is referenced by:  bj-bary1  33492
 Copyright terms: Public domain W3C validator