Mathbox for BJ < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-2uplex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-2uplex 33341
 Description: A couple is a set if and only if its coordinates are sets. (Contributed by BJ, 6-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
bj-2uplex (⦅𝐴, 𝐵⦆ ∈ V ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

Proof of Theorem bj-2uplex
StepHypRef Expression
1 bj-pr21val 33332 . . . 4 pr1𝐴, 𝐵⦆ = 𝐴
2 bj-pr1ex 33325 . . . 4 (⦅𝐴, 𝐵⦆ ∈ V → pr1𝐴, 𝐵⦆ ∈ V)
31, 2syl5eqelr 2855 . . 3 (⦅𝐴, 𝐵⦆ ∈ V → 𝐴 ∈ V)
4 bj-pr22val 33338 . . . 4 pr2𝐴, 𝐵⦆ = 𝐵
5 bj-pr2ex 33339 . . . 4 (⦅𝐴, 𝐵⦆ ∈ V → pr2𝐴, 𝐵⦆ ∈ V)
64, 5syl5eqelr 2855 . . 3 (⦅𝐴, 𝐵⦆ ∈ V → 𝐵 ∈ V)
73, 6jca 501 . 2 (⦅𝐴, 𝐵⦆ ∈ V → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
8 df-bj-2upl 33330 . . 3 𝐴, 𝐵⦆ = (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵))
9 bj-1uplex 33327 . . . . 5 (⦅𝐴⦆ ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V)
109biimpri 218 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ⦅𝐴⦆ ∈ V)
11 snex 5036 . . . . 5 {1𝑜} ∈ V
12 bj-xtagex 33308 . . . . 5 ({1𝑜} ∈ V → (𝐵 ∈ V → ({1𝑜} × tag 𝐵) ∈ V))
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 (𝐵 ∈ V → ({1𝑜} × tag 𝐵) ∈ V)
14 unexg 7106 . . . 4 ((⦅𝐴⦆ ∈ V ∧ ({1𝑜} × tag 𝐵) ∈ V) → (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵)) ∈ V)
1510, 13, 14syl2an 583 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵)) ∈ V)
168, 15syl5eqel 2854 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ⦅𝐴, 𝐵⦆ ∈ V)
177, 16impbii 199 1 (⦅𝐴, 𝐵⦆ ∈ V ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   ∪ cun 3721  {csn 4316   × cxp 5247  1𝑜c1o 7706  tag bj-ctag 33293  ⦅bj-c1upl 33316  pr1 bj-cpr1 33319  ⦅bj-c2uple 33329  pr2 bj-cpr2 33333 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-tr 4887  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-suc 5872  df-1o 7713  df-bj-sngl 33285  df-bj-tag 33294  df-bj-proj 33310  df-bj-1upl 33317  df-bj-pr1 33320  df-bj-2upl 33330  df-bj-pr2 33334 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator