Theorem bitsp1e 15356

Description: The 𝑀 + 1-th bit of 2𝑁 is the 𝑀-th bit of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsp1e	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘(2 · 𝑁)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))

Proof of Theorem bitsp1e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 11601	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	zmulcld 11680	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
5		bitsp1 15355	. . 3 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘(2 · 𝑁)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘((2 · 𝑁) / 2)))))
6	4, 5	sylan 489	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘(2 · 𝑁)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘((2 · 𝑁) / 2)))))
7		zcn 11574	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
8		2cnd 11285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
9		2ne0 11305	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
11	7, 8, 10	divcan3d 10998	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
12	11	fveq2d 6356	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((2 · 𝑁) / 2)) = (⌊‘𝑁))
13		flid 12803	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
14	12, 13	eqtrd 2794	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((2 · 𝑁) / 2)) = 𝑁)
15	14	adantr 472	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (⌊‘((2 · 𝑁) / 2)) = 𝑁)
16	15	fveq2d 6356	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (bits‘(⌊‘((2 · 𝑁) / 2))) = (bits‘𝑁))
17	16	eleq2d 2825	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘((2 · 𝑁) / 2))) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))
18	6, 17	bitrd 268	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘(2 · 𝑁)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   / cdiv 10876  2c2 11262  ℕ₀cn0 11484  ℤcz 11569  ⌊cfl 12785  bitscbits 15343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-bits 15346

This theorem is referenced by: (None)