Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsinv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsinv2 15387
 Description: There is an explicit inverse to the bits function for nonnegative integers, part 2. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsinv2 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem bitsinv2
Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfpw 8435 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝐴 ⊆ ℕ0𝐴 ∈ Fin))
21simprbi 483 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
3 2nn0 11521 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝐴) → 2 ∈ ℕ0)
51simplbi 478 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
65sselda 3744 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ ℕ0)
74, 6nn0expcld 13245 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝐴) → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
82, 7fsumnn0cl 14686 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
9 bitsinv1 15386 . . . 4 𝑛𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0 → Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) = Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))
108, 9syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) = Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))
11 bitsss 15370 . . . . . 6 (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0
1211a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0)
13 bitsfi 15381 . . . . . 6 𝑛𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0 → (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
148, 13syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
15 elfpw 8435 . . . . 5 ((bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin))
1612, 14, 15sylanbrc 701 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
17 oveq2 6822 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (2↑𝑛) = (2↑𝑚))
1817cbvsumv 14645 . . . . . 6 Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑚𝑘 (2↑𝑚)
19 sumeq1 14638 . . . . . 6 (𝑘 = (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) → Σ𝑚𝑘 (2↑𝑚) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
2018, 19syl5eq 2806 . . . . 5 (𝑘 = (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) → Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
21 eqid 2760 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛)) = (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))
22 sumex 14637 . . . . 5 Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) ∈ V
2320, 21, 22fvmpt 6445 . . . 4 ((bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
2416, 23syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
25 sumeq1 14638 . . . 4 (𝑘 = 𝐴 → Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))
26 sumex 14637 . . . 4 Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛) ∈ V
2725, 21, 26fvmpt 6445 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) = Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))
2810, 24, 273eqtr4d 2804 . 2 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴))
2921ackbijnn 14779 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0
30 f1of1 6298 . . . 4 ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0)
3129, 30mp1i 13 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0)
32 id 22 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
33 f1fveq 6683 . . 3 (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0 ∧ ((bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) ↔ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
3431, 16, 32, 33syl12anc 1475 . 2 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) ↔ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
3528, 34mpbid 222 1 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  𝒫 cpw 4302   ↦ cmpt 4881  –1-1→wf1 6046  –1-1-onto→wf1o 6048  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  2c2 11282  ℕ0cn0 11504  ↑cexp 13074  Σcsu 14635  bitscbits 15363 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-dvds 15203  df-bits 15366 This theorem is referenced by:  bitsf1ocnv  15388  2ebits  15391
 Copyright terms: Public domain W3C validator