MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsfzolem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsfzolem 15099
Description: Lemma for bitsfzo 15100. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.) (Revised by AV, 1-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bitsfzo.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
bitsfzo.2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
bitsfzo.3 (𝜑 → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
bitsfzo.4 𝑆 = inf({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
bitsfzolem (𝜑𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem bitsfzolem
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsfzo.1 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0uz 11682 . . 3 0 = (ℤ‘0)
31, 2syl6eleq 2708 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
4 2nn 11145 . . . . 5 2 ∈ ℕ
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
6 bitsfzo.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
75, 6nnexpcld 12986 . . 3 (𝜑 → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
87nnzd 11441 . 2 (𝜑 → (2↑𝑀) ∈ ℤ)
9 bitsfzo.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
109adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
11 n2dvds1 15047 . . . . . . . . 9 ¬ 2 ∥ 1
124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℕ)
13 ssrab2 3672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ⊆ ℕ0
14 bitsfzo.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑆 = inf({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < )
1513, 2sseqtri 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ⊆ (ℤ‘0)
16 nnssnn0 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ℕ ⊆ ℕ0
171nn0red 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
18 2re 11050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
20 1lt2 11154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1 < 2
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → 1 < 2)
22 expnbnd 12949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛))
2317, 19, 21, 22syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛))
24 ssrexv 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑛)))
2516, 23, 24mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑛))
26 rabn0 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑛))
2725, 26sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ≠ ∅)
28 infssuzcl 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ⊆ (ℤ‘0) ∧ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)})
2915, 27, 28sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → inf({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)})
3014, 29syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)})
3113, 30sseldi 3586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
3231nn0zd 11440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
34 0red 10001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
356nn0zd 11440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3736zred 11442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
3833zred 11442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℝ)
396adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4039nn0ge0d 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑀)
4118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
4241, 39reexpcld 12981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) ∈ ℝ)
4317adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
445, 31nnexpcld 12986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (2↑𝑆) ∈ ℕ)
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) ∈ ℕ)
4645nnred 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) ∈ ℝ)
47 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) ≤ 𝑁)
4830adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)})
49 oveq2 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 = 𝑆 → (2↑𝑚) = (2↑𝑆))
5049breq2d 4635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑚 = 𝑆 → (𝑁 < (2↑𝑚) ↔ 𝑁 < (2↑𝑆)))
51 oveq2 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑚 → (2↑𝑛) = (2↑𝑚))
5251breq2d 4635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = 𝑚 → (𝑁 < (2↑𝑛) ↔ 𝑁 < (2↑𝑚)))
5352cbvrabv 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} = {𝑚 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑚)}
5450, 53elrab2 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ↔ (𝑆 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑆)))
5554simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} → 𝑁 < (2↑𝑆))
5648, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 < (2↑𝑆))
5742, 43, 46, 47, 56lelttrd 10155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) < (2↑𝑆))
5820a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 < 2)
5941, 36, 33, 58ltexp2d 12994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑀 < 𝑆 ↔ (2↑𝑀) < (2↑𝑆)))
6057, 59mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑆)
6134, 37, 38, 40, 60lelttrd 10155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑆)
62 elnnz 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 ∈ ℕ ↔ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑆))
6333, 61, 62sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ)
64 nnm1nn0 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 ∈ ℕ → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
6612, 65nnexpcld 12986 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℕ)
6766nncnd 10996 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℂ)
6867mulid2d 10018 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (1 · (2↑(𝑆 − 1))) = (2↑(𝑆 − 1)))
6938ltm1d 10916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) < 𝑆)
7065nn0red 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ ℝ)
7170, 38ltnled 10144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
7269, 71mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 1))
73 oveq2 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 = (𝑆 − 1) → (2↑𝑚) = (2↑(𝑆 − 1)))
7473breq2d 4635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = (𝑆 − 1) → (𝑁 < (2↑𝑚) ↔ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))))
7574, 53elrab2 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ↔ ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))))
76 infssuzle 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ⊆ (ℤ‘0) ∧ (𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}) → inf({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 1))
7715, 76mpan 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} → inf({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 1))
7814, 77syl5eqbr 4658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1))
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
8075, 79syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (((𝑆 − 1) ∈ ℕ0𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))) → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
8165, 80mpand 710 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)) → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
8272, 81mtod 189 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)))
8366nnred 10995 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℝ)
8483, 43lenltd 10143 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((2↑(𝑆 − 1)) ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))))
8582, 84mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ≤ 𝑁)
8668, 85eqbrtrd 4645 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (1 · (2↑(𝑆 − 1))) ≤ 𝑁)
87 1red 10015 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
88 2rp 11797 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ+)
90 1z 11367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℤ
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
9233, 91zsubcld 11447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ ℤ)
9389, 92rpexpcld 12988 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℝ+)
9487, 43, 93lemuldivd 11881 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((1 · (2↑(𝑆 − 1))) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))))
9586, 94mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))))
96 2cn 11051 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
97 expm1t 12844 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → (2↑𝑆) = ((2↑(𝑆 − 1)) · 2))
9896, 63, 97sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) = ((2↑(𝑆 − 1)) · 2))
9956, 98breqtrd 4649 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 < ((2↑(𝑆 − 1)) · 2))
10043, 41, 93ltdivmuld 11883 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < 2 ↔ 𝑁 < ((2↑(𝑆 − 1)) · 2)))
10199, 100mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < 2)
102 df-2 11039 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
103101, 102syl6breq 4664 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 + 1))
10443, 93rerpdivcld 11863 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∈ ℝ)
105 flbi 12573 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∧ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 + 1))))
106104, 90, 105sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∧ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 + 1))))
10795, 103, 106mpbir2and 956 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1)
108107breq2d 4635 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) ↔ 2 ∥ 1))
10911, 108mtbiri 317 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))))
1101nn0zd 11440 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
111110adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
112 bitsval2 15090 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑆 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))))))
113111, 65, 112syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))))))
114109, 113mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁))
11510, 114sseldd 3589 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ (0..^𝑀))
116 elfzolt2 12436 . . . . . 6 ((𝑆 − 1) ∈ (0..^𝑀) → (𝑆 − 1) < 𝑀)
117115, 116syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) < 𝑀)
118 zlem1lt 11389 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑆𝑀 ↔ (𝑆 − 1) < 𝑀))
11933, 36, 118syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆𝑀 ↔ (𝑆 − 1) < 𝑀))
120117, 119mpbird 247 . . . 4 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆𝑀)
12137, 38ltnled 10144 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑀 < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆𝑀))
12260, 121mpbid 222 . . . 4 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑆𝑀)
123120, 122pm2.65da 599 . . 3 (𝜑 → ¬ (2↑𝑀) ≤ 𝑁)
1247nnred 10995 . . . 4 (𝜑 → (2↑𝑀) ∈ ℝ)
12517, 124ltnled 10144 . . 3 (𝜑 → (𝑁 < (2↑𝑀) ↔ ¬ (2↑𝑀) ≤ 𝑁))
126123, 125mpbird 247 . 2 (𝜑𝑁 < (2↑𝑀))
127 elfzo2 12430 . 2 (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘0) ∧ (2↑𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑𝑀)))
1283, 8, 126, 127syl3anbrc 1244 1 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2909  {crab 2912  wss 3560  c0 3897   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  infcinf 8307  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226   / cdiv 10644  cn 10980  2c2 11030  0cn0 11252  cz 11337  cuz 11647  +crp 11792  ..^cfzo 12422  cfl 12547  cexp 12816  cdvds 14926  bitscbits 15084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-seq 12758  df-exp 12817  df-dvds 14927  df-bits 15087
This theorem is referenced by:  bitsfzo  15100
  Copyright terms: Public domain W3C validator