MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsfzo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsfzo 15204
Description: The bits of a number are all less than 𝑀 iff the number is nonnegative and less than 2↑𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.) (Proof shortened by AV, 1-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
bitsfzo ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)))

Proof of Theorem bitsfzo
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsval 15193 . . . 4 (𝑚 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
2 simp32 1118 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
3 nn0uz 11760 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
42, 3syl6eleq 2740 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘0))
5 simp1r 1106 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
65nn0zd 11518 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 2re 11128 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 2 ∈ ℝ)
98, 2reexpcld 13065 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
10 simp1l 1105 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑁 ∈ ℤ)
1110zred 11520 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑁 ∈ ℝ)
128, 5reexpcld 13065 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (2↑𝑀) ∈ ℝ)
139recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
1413mulid2d 10096 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (1 · (2↑𝑚)) = (2↑𝑚))
15 simp33 1119 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
16 2rp 11875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ+
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 2 ∈ ℝ+)
182nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑚 ∈ ℤ)
1917, 18rpexpcld 13072 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (2↑𝑚) ∈ ℝ+)
2011, 19rerpdivcld 11941 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
21 1red 10093 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 1 ∈ ℝ)
2220, 21ltnled 10222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ((𝑁 / (2↑𝑚)) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚))))
23 0p1e1 11170 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
2423breq2i 4693 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 / (2↑𝑚)) < (0 + 1) ↔ (𝑁 / (2↑𝑚)) < 1)
25 elfzole1 12517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) → 0 ≤ 𝑁)
26253ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 0 ≤ 𝑁)
2711, 19, 26divge0d 11950 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 0 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)))
28 0z 11426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℤ
29 flbi 12657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)) ∧ (𝑁 / (2↑𝑚)) < (0 + 1))))
3020, 28, 29sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)) ∧ (𝑁 / (2↑𝑚)) < (0 + 1))))
31 2z 11447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℤ
32 dvds0 15044 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 0)
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∥ 0
34 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) = 0 → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) = 0)
3533, 34syl5breqr 4723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) = 0 → 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
3630, 35syl6bir 244 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ((0 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)) ∧ (𝑁 / (2↑𝑚)) < (0 + 1)) → 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
3727, 36mpand 711 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ((𝑁 / (2↑𝑚)) < (0 + 1) → 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
3824, 37syl5bir 233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ((𝑁 / (2↑𝑚)) < 1 → 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
3922, 38sylbird 250 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (¬ 1 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)) → 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
4015, 39mt3d 140 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 1 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)))
4121, 11, 19lemuldivd 11959 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ((1 · (2↑𝑚)) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚))))
4240, 41mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (1 · (2↑𝑚)) ≤ 𝑁)
4314, 42eqbrtrrd 4709 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (2↑𝑚) ≤ 𝑁)
44 elfzolt2 12518 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) → 𝑁 < (2↑𝑀))
45443ad2ant2 1103 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑁 < (2↑𝑀))
469, 11, 12, 43, 45lelttrd 10233 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (2↑𝑚) < (2↑𝑀))
47 1lt2 11232 . . . . . . . . 9 1 < 2
4847a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 1 < 2)
498, 18, 6, 48ltexp2d 13078 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (𝑚 < 𝑀 ↔ (2↑𝑚) < (2↑𝑀)))
5046, 49mpbird 247 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑚 < 𝑀)
51 elfzo2 12512 . . . . . 6 (𝑚 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑀))
524, 6, 50, 51syl3anbrc 1265 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑚 ∈ (0..^𝑀))
53523expia 1286 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))) → 𝑚 ∈ (0..^𝑀)))
541, 53syl5bi 232 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀))) → (𝑚 ∈ (bits‘𝑁) → 𝑚 ∈ (0..^𝑀)))
5554ssrdv 3642 . 2 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀))) → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
56 simpr 476 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℕ)
5756nnred 11073 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℝ)
58 simpllr 815 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5958nn0red 11390 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
60 max2 12056 . . . . . . 7 ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))
6157, 59, 60syl2anc 694 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ≤ if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))
62 simplr 807 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
63 n2dvds1 15151 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 2 ∥ 1
64 1z 11445 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℤ
65 dvdsnegb 15046 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (2 ∥ 1 ↔ 2 ∥ -1))
6631, 64, 65mp2an 708 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∥ 1 ↔ 2 ∥ -1)
6763, 66mtbi 311 . . . . . . . . . . 11 ¬ 2 ∥ -1
68 simplll 813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6968zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
70 2nn 11223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℕ
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ)
7256nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℕ0)
7358, 72ifcld 4164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ ℕ0)
7471, 73nnexpcld 13070 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)) ∈ ℕ)
7569, 74nndivred 11107 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) ∈ ℝ)
76 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
7768zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
7874nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)) ∈ ℂ)
79 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
80 2ne0 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ≠ 0
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
8273nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ ℤ)
8379, 81, 82expne0d 13054 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)) ≠ 0)
8477, 78, 83divnegd 10852 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) = (-𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))))
8573nn0red 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ ℝ)
8674nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)) ∈ ℝ)
87 max1 12054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → -𝑁 ≤ if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))
8857, 59, 87syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ≤ if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))
89 uzid 11740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
9031, 89ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ (ℤ‘2)
91 bernneq3 13032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ ℕ0) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) < (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))
9290, 73, 91sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) < (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))
9385, 86, 92ltled 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ≤ (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))
9457, 85, 86, 88, 93letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ≤ (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))
9578mulid1d 10095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)) · 1) = (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))
9694, 95breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ≤ ((2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)) · 1))
9774nnrpd 11908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)) ∈ ℝ+)
9857, 76, 97ledivmuld 11963 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((-𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) ≤ 1 ↔ -𝑁 ≤ ((2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)) · 1)))
9996, 98mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) ≤ 1)
10084, 99eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) ≤ 1)
10175, 76, 100lenegcon1d 10647 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -1 ≤ (𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))))
10256nngt0d 11102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 0 < -𝑁)
10374nngt0d 11102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))
10457, 86, 102, 103divgt0d 10997 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (-𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))))
105104, 84breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 0 < -(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))))
10675lt0neg1d 10635 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) < 0 ↔ 0 < -(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))))
107105, 106mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) < 0)
108 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
109 neg1cn 11162 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℂ
110 1pneg1e0 11167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + -1) = 0
111108, 109, 110addcomli 10266 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 + 1) = 0
112107, 111syl6breqr 4727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) < (-1 + 1))
113 neg1z 11451 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 ∈ ℤ
114 flbi 12657 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))) = -1 ↔ (-1 ≤ (𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) ∧ (𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) < (-1 + 1))))
11575, 113, 114sylancl 695 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))) = -1 ↔ (-1 ≤ (𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) ∧ (𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) < (-1 + 1))))
116101, 112, 115mpbir2and 977 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))) = -1)
117116breq2d 4697 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))) ↔ 2 ∥ -1))
11867, 117mtbiri 316 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))))
119 bitsval2 15194 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ ℕ0) → (if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))))))
12068, 73, 119syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))))))
121118, 120mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ (bits‘𝑁))
12262, 121sseldd 3637 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ (0..^𝑀))
123 elfzolt2 12518 . . . . . . . 8 (if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ (0..^𝑀) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) < 𝑀)
124122, 123syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) < 𝑀)
12585, 59ltnled 10222 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))
126124, 125mpbid 222 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 𝑀 ≤ if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))
12761, 126pm2.65da 599 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → ¬ -𝑁 ∈ ℕ)
128127intnand 982 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → ¬ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ))
129 simpll 805 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
130 elznn0nn 11429 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
131129, 130sylib 208 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
132131ord 391 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
133128, 132mt3d 140 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
134 simplr 807 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
135 simpr 476 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
136 eqid 2651 . . 3 inf({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < )
137133, 134, 135, 136bitsfzolem 15203 . 2 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)))
13855, 137impbida 895 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  {crab 2945  wss 3607  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  infcinf 8388  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  ..^cfzo 12504  cfl 12631  cexp 12900  cdvds 15027  bitscbits 15188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-dvds 15028  df-bits 15191
This theorem is referenced by:  bitsfi  15206  0bits  15208  bitsinv1  15211  sadcaddlem  15226  sadaddlem  15235  sadasslem  15239  sadeq  15241
  Copyright terms: Public domain W3C validator