Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsfi 15332
 Description: Every number is associated with a finite set of bits. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsfi (𝑁 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem bitsfi
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0re 11464 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
2 2re 11253 . . . 4 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
4 1lt2 11357 . . . 4 1 < 2
54a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 < 2)
6 expnbnd 13158 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑚))
71, 3, 5, 6syl3anc 1463 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑚))
8 fzofi 12938 . . 3 (0..^𝑚) ∈ Fin
9 simpl 474 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10 nn0uz 11886 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
119, 10syl6eleq 2837 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
12 2nn 11348 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
1312a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 2 ∈ ℕ)
14 simprl 811 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑚 ∈ ℕ)
1514nnnn0d 11514 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
1613, 15nnexpcld 13195 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
1716nnzd 11644 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
18 simprr 813 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑁 < (2↑𝑚))
19 elfzo2 12638 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑚)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘0) ∧ (2↑𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚)))
2011, 17, 18, 19syl3anbrc 1407 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑚)))
219nn0zd 11643 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑁 ∈ ℤ)
22 bitsfzo 15330 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑚)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑚)))
2321, 15, 22syl2anc 696 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑚)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑚)))
2420, 23mpbid 222 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑚))
25 ssfi 8333 . . 3 (((0..^𝑚) ∈ Fin ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑚)) → (bits‘𝑁) ∈ Fin)
268, 24, 25sylancr 698 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → (bits‘𝑁) ∈ Fin)
277, 26rexlimddv 3161 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑁) ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2127  ∃wrex 3039   ⊆ wss 3703   class class class wbr 4792  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  Fincfn 8109  ℝcr 10098  0cc0 10099  1c1 10100   < clt 10237  ℕcn 11183  2c2 11233  ℕ0cn0 11455  ℤcz 11540  ℤ≥cuz 11850  ..^cfzo 12630  ↑cexp 13025  bitscbits 15314 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-seq 12967  df-exp 13026  df-dvds 15154  df-bits 15317 This theorem is referenced by:  bitsinv2  15338  bitsf1ocnv  15339  bitsf1  15341  eulerpartlemgc  30704  eulerpartlemgs2  30722
 Copyright terms: Public domain W3C validator