MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsf1ocnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsf1ocnv 15213
Description: The bits function restricted to nonnegative integers is a bijection from the integers to the finite sets of integers. It is in fact the inverse of the Ackermann bijection ackbijnn 14604. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsf1ocnv ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Proof of Theorem bitsf1ocnv
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘))
2 bitsss 15195 . . . . . . . . 9 (bits‘𝑘) ⊆ ℕ0
32a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑘) ⊆ ℕ0)
4 bitsfi 15206 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑘) ∈ Fin)
5 elfpw 8309 . . . . . . . 8 ((bits‘𝑘) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((bits‘𝑘) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘𝑘) ∈ Fin))
63, 4, 5sylanbrc 699 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑘) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
76adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘𝑘) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
8 elfpw 8309 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝑥 ⊆ ℕ0𝑥 ∈ Fin))
98simprbi 479 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
10 2nn0 11347 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑥) → 2 ∈ ℕ0)
128simplbi 475 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ ℕ0)
1312sselda 3636 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑥) → 𝑛 ∈ ℕ0)
1411, 13nn0expcld 13071 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑥) → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
159, 14fsumnn0cl 14511 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
1615adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
17 bitsinv2 15212 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛)) = 𝑥)
1817eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝑥 = (bits‘Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛)))
1918ad2antll 765 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → 𝑥 = (bits‘Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛)))
20 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑘 = Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛) → (bits‘𝑘) = (bits‘Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛)))
2120eqeq2d 2661 . . . . . . . 8 (𝑘 = Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛) → (𝑥 = (bits‘𝑘) ↔ 𝑥 = (bits‘Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛))))
2219, 21syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (𝑘 = Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛) → 𝑥 = (bits‘𝑘)))
23 bitsinv1 15211 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛) = 𝑘)
2423eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛))
2524ad2antrl 764 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → 𝑘 = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛))
26 sumeq1 14463 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (bits‘𝑘) → Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛))
2726eqeq2d 2661 . . . . . . . 8 (𝑥 = (bits‘𝑘) → (𝑘 = Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛) ↔ 𝑘 = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑘)(2↑𝑛)))
2825, 27syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (𝑥 = (bits‘𝑘) → 𝑘 = Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛)))
2922, 28impbid 202 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (𝑘 = Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛) ↔ 𝑥 = (bits‘𝑘)))
301, 7, 16, 29f1ocnv2d 6928 . . . . 5 (⊤ → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛))))
3130simpld 474 . . . 4 (⊤ → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
32 bitsf 15196 . . . . . . . . 9 bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0)
3433feqmptd 6288 . . . . . . 7 (⊤ → bits = (𝑘 ∈ ℤ ↦ (bits‘𝑘)))
3534reseq1d 5427 . . . . . 6 (⊤ → (bits ↾ ℕ0) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (bits‘𝑘)) ↾ ℕ0))
36 nn0ssz 11436 . . . . . . 7 0 ⊆ ℤ
37 resmpt 5484 . . . . . . 7 (ℕ0 ⊆ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (bits‘𝑘)) ↾ ℕ0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)))
3836, 37ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (bits‘𝑘)) ↾ ℕ0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘))
3935, 38syl6eq 2701 . . . . 5 (⊤ → (bits ↾ ℕ0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)))
40 f1oeq1 6165 . . . . 5 ((bits ↾ ℕ0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)) → ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)))
4139, 40syl 17 . . . 4 (⊤ → ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)))
4231, 41mpbird 247 . . 3 (⊤ → (bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
4339cnveqd 5330 . . . 4 (⊤ → (bits ↾ ℕ0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)))
4430simprd 478 . . . 4 (⊤ → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (bits‘𝑘)) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛)))
4543, 44eqtrd 2685 . . 3 (⊤ → (bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛)))
4642, 45jca 553 . 2 (⊤ → ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛))))
4746trud 1533 1 ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑥 (2↑𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wtru 1524  wcel 2030  cin 3606  wss 3607  𝒫 cpw 4191  cmpt 4762  ccnv 5142  cres 5145  wf 5922  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cexp 12900  Σcsu 14460  bitscbits 15188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-dvds 15028  df-bits 15191
This theorem is referenced by:  bitsf1o  15214  bitsinv  15217
  Copyright terms: Public domain W3C validator