MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bits0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bits0 15358
Description: Value of the zeroth bit. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bits0 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem bits0
StepHypRef Expression
1 0nn0 11509 . . 3 0 ∈ ℕ0
2 bitsval2 15355 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (0 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑0)))))
31, 2mpan2 671 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑0)))))
4 2cn 11293 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
5 exp0 13071 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2↑0) = 1
76oveq2i 6804 . . . . . . 7 (𝑁 / (2↑0)) = (𝑁 / 1)
8 zcn 11584 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
98div1d 10995 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 1) = 𝑁)
107, 9syl5eq 2817 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / (2↑0)) = 𝑁)
1110fveq2d 6336 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) = (⌊‘𝑁))
12 flid 12817 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
1311, 12eqtrd 2805 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) = 𝑁)
1413breq2d 4798 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) ↔ 2 ∥ 𝑁))
1514notbid 307 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
163, 15bitrd 268 1 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   / cdiv 10886  2c2 11272  0cn0 11494  cz 11579  cfl 12799  cexp 13067  cdvds 15189  bitscbits 15349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-bits 15352
This theorem is referenced by:  bits0e  15359  bits0o  15360
  Copyright terms: Public domain W3C validator