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Theorem birthdaylem3 24871
Description: For general 𝑁 and 𝐾, upper-bound the fraction of injective functions from 1...𝐾 to 1...𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s 𝑆 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t 𝑇 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
Assertion
Ref Expression
birthdaylem3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthdaylem3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 birthday.t . . . . . . . 8 𝑇 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
2 abn0 4089 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁))
3 ovex 6833 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ∈ V
43brdom 8125 . . . . . . . . . . . 12 ((1...𝐾) ≼ (1...𝑁) ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁))
52, 4bitr4i 267 . . . . . . . . . . 11 ({𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁))
6 hashfz1 13320 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
7 nnnn0 11483 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
8 hashfz1 13320 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
106, 9breqan12d 4812 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ 𝐾𝑁))
11 fzfid 12958 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (1...𝐾) ∈ Fin)
12 fzfid 12958 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (1...𝑁) ∈ Fin)
13 hashdom 13352 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁)))
1411, 12, 13syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁)))
15 nn0re 11485 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
16 nnre 11211 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
17 lenlt 10300 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
1815, 16, 17syl2an 495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
1910, 14, 183bitr3d 298 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((1...𝐾) ≼ (1...𝑁) ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
205, 19syl5bb 272 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ({𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
2120necon4abid 2964 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ({𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} = ∅ ↔ 𝑁 < 𝐾))
2221biimpar 503 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} = ∅)
231, 22syl5eq 2798 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 𝑇 = ∅)
2423fveq2d 6348 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑇) = (♯‘∅))
25 hash0 13342 . . . . . 6 (♯‘∅) = 0
2624, 25syl6eq 2802 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑇) = 0)
2726oveq1d 6820 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (0 / (♯‘𝑆)))
28 birthday.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
2928, 1birthdaylem1 24869 . . . . . . . . 9 (𝑇𝑆𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
3029simp3i 1135 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
3130ad2antlr 765 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 𝑆 ≠ ∅)
3229simp2i 1134 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ Fin
33 hashnncl 13341 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . 7 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅)
3531, 34sylibr 224 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ)
3635nncnd 11220 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
3735nnne0d 11249 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) ≠ 0)
3836, 37div0d 10984 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (0 / (♯‘𝑆)) = 0)
3927, 38eqtrd 2786 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = 0)
4015adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
4140resqcld 13221 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾↑2) ∈ ℝ)
4241, 40resubcld 10642 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾↑2) − 𝐾) ∈ ℝ)
4342rehalfcld 11463 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ)
44 nndivre 11240 . . . . . . . 8 (((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
4543, 44sylancom 704 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
4645renegcld 10641 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
4746adantr 472 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
4847rpefcld 15026 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
4948rpge0d 12061 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 0 ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
5039, 49eqbrtrd 4818 . 2 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
51 simplr 809 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
52 simpr 479 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
53 simpll 807 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
54 nn0uz 11907 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
5553, 54syl6eleq 2841 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ‘0))
56 nnz 11583 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
5756ad2antlr 765 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
58 elfz5 12519 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾𝑁))
5955, 57, 58syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾𝑁))
6052, 59mpbird 247 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
6128, 1birthdaylem2 24870 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))))
6251, 60, 61syl2anc 696 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))))
63 fzfid 12958 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (0...(𝐾 − 1)) ∈ Fin)
64 elfznn0 12618 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6564adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6665nn0red 11536 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
6753nn0red 11536 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
68 peano2rem 10532 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
7069adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
7151adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
7271nnred 11219 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
73 elfzle2 12530 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 − 1))
7473adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ≤ (𝐾 − 1))
7551nnred 11219 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
7667ltm1d 11140 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 − 1) < 𝐾)
7769, 67, 75, 76, 52ltletrd 10381 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 − 1) < 𝑁)
7877adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) < 𝑁)
7966, 70, 72, 74, 78lelttrd 10379 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 < 𝑁)
8071nncnd 11220 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
8180mulid1d 10241 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
8279, 81breqtrrd 4824 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 < (𝑁 · 1))
83 1red 10239 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
8471nngt0d 11248 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 < 𝑁)
85 ltdivmul 11082 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ 𝑘 < (𝑁 · 1)))
8666, 83, 72, 84, 85syl112anc 1477 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ 𝑘 < (𝑁 · 1)))
8782, 86mpbird 247 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) < 1)
8866, 71nndivred 11253 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ)
89 1re 10223 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
90 difrp 12053 . . . . . . . . 9 (((𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ+))
9188, 89, 90sylancl 697 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ+))
9287, 91mpbid 222 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
9392relogcld 24560 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ)
9488renegcld 10641 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → -(𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ)
95 elfzle1 12529 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 0 ≤ 𝑘)
9695adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 ≤ 𝑘)
97 divge0 11076 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ (𝑘 / 𝑁))
9866, 96, 72, 84, 97syl22anc 1474 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 ≤ (𝑘 / 𝑁))
9988, 98, 87eflegeo 15042 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))))
10088reefcld 15009 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ)
101 efgt0 15024 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁)))
10288, 101syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁)))
10392rpregt0d 12063 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (𝑘 / 𝑁))))
104 lerec2 11095 . . . . . . . . . 10 ((((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁))) ∧ ((1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (𝑘 / 𝑁)))) → ((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))) ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁)))))
105100, 102, 103, 104syl21anc 1472 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))) ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁)))))
10699, 105mpbid 222 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
10792reeflogd 24561 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) = (1 − (𝑘 / 𝑁)))
10888recnd 10252 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) ∈ ℂ)
109 efneg 15019 . . . . . . . . 9 ((𝑘 / 𝑁) ∈ ℂ → (exp‘-(𝑘 / 𝑁)) = (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
110108, 109syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘-(𝑘 / 𝑁)) = (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
111106, 107, 1103brtr4d 4828 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁)))
112 efle 15039 . . . . . . . 8 (((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ -(𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ) → ((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁) ↔ (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁))))
11393, 94, 112syl2anc 696 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁) ↔ (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁))))
114111, 113mpbird 247 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁))
11563, 93, 94, 114fsumle 14722 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁))
11663, 108fsumneg 14710 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁) = -Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁))
11751nncnd 11220 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
11866recnd 10252 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
119 nnne0 11237 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
120119ad2antlr 765 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
12163, 117, 118, 120fsumdivc 14709 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 / 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁))
122 arisum2 14784 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 = (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2))
12353, 122syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 = (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2))
124123oveq1d 6820 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 / 𝑁) = ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
125121, 124eqtr3d 2788 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁) = ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
126125negeqd 10459 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → -Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁) = -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
127116, 126eqtrd 2786 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁) = -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
128115, 127breqtrd 4822 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
12963, 93fsumrecl 14656 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ)
13046adantr 472 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
131 efle 15039 . . . . 5 ((Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))))
132129, 130, 131syl2anc 696 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))))
133128, 132mpbid 222 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
13462, 133eqbrtrd 4818 . 2 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
13516adantl 473 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
13650, 134, 135, 40ltlecasei 10329 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wex 1845  wcel 2131  {cab 2738  wne 2924  wss 3707  c0 4050   class class class wbr 4796  wf 6037  1-1wf1 6038  cfv 6041  (class class class)co 6805  cdom 8111  Fincfn 8113  cc 10118  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   · cmul 10125   < clt 10258  cle 10259  cmin 10450  -cneg 10451   / cdiv 10868  cn 11204  2c2 11254  0cn0 11476  cz 11561  cuz 11871  +crp 12017  ...cfz 12511  cexp 13046  chash 13303  Σcsu 14607  expce 14983  logclog 24492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-xnn0 11548  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ioc 12365  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-fac 13247  df-bc 13276  df-hash 13304  df-shft 13998  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-limsup 14393  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-ef 14989  df-sin 14991  df-cos 14992  df-pi 14994  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-mulg 17734  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-lp 21134  df-perf 21135  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-haus 21313  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-cncf 22874  df-limc 23821  df-dv 23822  df-log 24494
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