MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  birthday Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem birthday 24880
Description: The Birthday Problem. There is a more than even chance that out of 23 people in a room, at least two of them have the same birthday. Mathematically, this is asserting that for 𝐾 = 23 and 𝑁 = 365, fewer than half of the set of all functions from 1...𝐾 to 1...𝑁 are injective. This is Metamath 100 proof #93. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s 𝑆 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t 𝑇 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
birthday.k 𝐾 = 23
birthday.n 𝑁 = 365
Assertion
Ref Expression
birthday ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) < (1 / 2)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthday
StepHypRef Expression
1 birthday.k . . . 4 𝐾 = 23
2 2nn0 11501 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
3 3nn0 11502 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11704 . . . 4 23 ∈ ℕ0
51, 4eqeltri 2835 . . 3 𝐾 ∈ ℕ0
6 birthday.n . . . 4 𝑁 = 365
7 6nn0 11505 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
83, 7deccl 11704 . . . . 5 36 ∈ ℕ0
9 5nn 11380 . . . . 5 5 ∈ ℕ
108, 9decnncl 11710 . . . 4 365 ∈ ℕ
116, 10eqeltri 2835 . . 3 𝑁 ∈ ℕ
12 birthday.s . . . 4 𝑆 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
13 birthday.t . . . 4 𝑇 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
1412, 13birthdaylem3 24879 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
155, 11, 14mp2an 710 . 2 ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
16 log2ub 24875 . . . . . 6 (log‘2) < (253 / 365)
175nn0cni 11496 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ∈ ℂ
1817sqvali 13137 . . . . . . . . . . 11 (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾)
1917mulid1i 10234 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 · 1) = 𝐾
2019eqcomi 2769 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (𝐾 · 1)
2118, 20oveq12i 6825 . . . . . . . . . 10 ((𝐾↑2) − 𝐾) = ((𝐾 · 𝐾) − (𝐾 · 1))
22 ax-1cn 10186 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
2317, 17, 22subdii 10671 . . . . . . . . . 10 (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((𝐾 · 𝐾) − (𝐾 · 1))
2421, 23eqtr4i 2785 . . . . . . . . 9 ((𝐾↑2) − 𝐾) = (𝐾 · (𝐾 − 1))
2524oveq1i 6823 . . . . . . . 8 (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) / 2)
2617, 22subcli 10549 . . . . . . . . . 10 (𝐾 − 1) ∈ ℂ
27 2cn 11283 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
28 2ne0 11305 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
2917, 26, 27, 28divassi 10973 . . . . . . . . 9 ((𝐾 · (𝐾 − 1)) / 2) = (𝐾 · ((𝐾 − 1) / 2))
30 1nn0 11500 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
31 2p1e3 11343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 + 1) = 3
32 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 22 = 22
332, 2, 31, 32decsuc 11727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (22 + 1) = 23
341, 33eqtr4i 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (22 + 1)
3534oveq1i 6823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 − 1) = ((22 + 1) − 1)
362, 2deccl 11704 . . . . . . . . . . . . . . 15 22 ∈ ℕ0
3736nn0cni 11496 . . . . . . . . . . . . . 14 22 ∈ ℂ
3837, 22pncan3oi 10489 . . . . . . . . . . . . 13 ((22 + 1) − 1) = 22
3935, 38eqtri 2782 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 − 1) = 22
4039oveq1i 6823 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 − 1) / 2) = (22 / 2)
41 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 11 = 11
42 0nn0 11499 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
4327mulid1i 10234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 1) = 2
4443oveq1i 6823 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 1) + 0) = (2 + 0)
4527addid1i 10415 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 0) = 2
4644, 45eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 1) + 0) = 2
472dec0h 11714 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = 02
4843, 47eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 1) = 02
492, 30, 30, 41, 2, 42, 46, 48decmul2c 11781 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 11) = 22
5030, 30deccl 11704 . . . . . . . . . . . . . 14 11 ∈ ℕ0
5150nn0cni 11496 . . . . . . . . . . . . 13 11 ∈ ℂ
5237, 27, 51, 28divmuli 10971 . . . . . . . . . . . 12 ((22 / 2) = 11 ↔ (2 · 11) = 22)
5349, 52mpbir 221 . . . . . . . . . . 11 (22 / 2) = 11
5440, 53eqtri 2782 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 − 1) / 2) = 11
5519, 1eqtri 2782 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 · 1) = 23
56 3p2e5 11352 . . . . . . . . . . 11 (3 + 2) = 5
572, 3, 2, 55, 56decaddi 11771 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 · 1) + 2) = 25
585, 30, 30, 54, 3, 2, 57, 55decmul2c 11781 . . . . . . . . 9 (𝐾 · ((𝐾 − 1) / 2)) = 253
5929, 58eqtri 2782 . . . . . . . 8 ((𝐾 · (𝐾 − 1)) / 2) = 253
6025, 59eqtri 2782 . . . . . . 7 (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) = 253
6160, 6oveq12i 6825 . . . . . 6 ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) = (253 / 365)
6216, 61breqtrri 4831 . . . . 5 (log‘2) < ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)
63 2rp 12030 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
64 relogcl 24521 . . . . . . 7 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
6563, 64ax-mp 5 . . . . . 6 (log‘2) ∈ ℝ
66 5nn0 11504 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℕ0
672, 66deccl 11704 . . . . . . . . . 10 25 ∈ ℕ0
6867, 3deccl 11704 . . . . . . . . 9 253 ∈ ℕ0
6960, 68eqeltri 2835 . . . . . . . 8 (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℕ0
7069nn0rei 11495 . . . . . . 7 (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ
71 nndivre 11248 . . . . . . 7 (((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
7270, 11, 71mp2an 710 . . . . . 6 ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ
7365, 72ltnegi 10764 . . . . 5 ((log‘2) < ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2))
7462, 73mpbi 220 . . . 4 -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2)
7572renegcli 10534 . . . . 5 -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ
7665renegcli 10534 . . . . 5 -(log‘2) ∈ ℝ
77 eflt 15046 . . . . 5 ((-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ -(log‘2) ∈ ℝ) → (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2) ↔ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2))))
7875, 76, 77mp2an 710 . . . 4 (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2) ↔ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2)))
7974, 78mpbi 220 . . 3 (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2))
8065recni 10244 . . . . 5 (log‘2) ∈ ℂ
81 efneg 15027 . . . . 5 ((log‘2) ∈ ℂ → (exp‘-(log‘2)) = (1 / (exp‘(log‘2))))
8280, 81ax-mp 5 . . . 4 (exp‘-(log‘2)) = (1 / (exp‘(log‘2)))
83 reeflog 24526 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘2)) = 2)
8463, 83ax-mp 5 . . . . 5 (exp‘(log‘2)) = 2
8584oveq2i 6824 . . . 4 (1 / (exp‘(log‘2))) = (1 / 2)
8682, 85eqtri 2782 . . 3 (exp‘-(log‘2)) = (1 / 2)
8779, 86breqtri 4829 . 2 (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (1 / 2)
8812, 13birthdaylem1 24877 . . . . . . . 8 (𝑇𝑆𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
8988simp2i 1135 . . . . . . 7 𝑆 ∈ Fin
9088simp1i 1134 . . . . . . 7 𝑇𝑆
91 ssfi 8345 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇𝑆) → 𝑇 ∈ Fin)
9289, 90, 91mp2an 710 . . . . . 6 𝑇 ∈ Fin
93 hashcl 13339 . . . . . 6 (𝑇 ∈ Fin → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
9492, 93ax-mp 5 . . . . 5 (♯‘𝑇) ∈ ℕ0
9594nn0rei 11495 . . . 4 (♯‘𝑇) ∈ ℝ
9688simp3i 1136 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
9711, 96ax-mp 5 . . . . 5 𝑆 ≠ ∅
98 hashnncl 13349 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
9989, 98ax-mp 5 . . . . 5 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅)
10097, 99mpbir 221 . . . 4 (♯‘𝑆) ∈ ℕ
101 nndivre 11248 . . . 4 (((♯‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ∈ ℝ)
10295, 100, 101mp2an 710 . . 3 ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ∈ ℝ
103 reefcl 15016 . . . 4 (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ → (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ)
10475, 103ax-mp 5 . . 3 (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ
105 halfre 11438 . . 3 (1 / 2) ∈ ℝ
106102, 104, 105lelttri 10356 . 2 ((((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∧ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (1 / 2)) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) < (1 / 2))
10715, 87, 106mp2an 710 1 ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) < (1 / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1632  wcel 2139  {cab 2746  wne 2932  wss 3715  c0 4058   class class class wbr 4804  wf 6045  1-1wf1 6046  cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  -cneg 10459   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  3c3 11263  5c5 11265  6c6 11266  0cn0 11484  cdc 11685  +crp 12025  ...cfz 12519  cexp 13054  chash 13311  expce 14991  logclog 24500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-tan 15001  df-pi 15002  df-dvds 15183  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-cmp 21392  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-ulm 24330  df-log 24502  df-atan 24793
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator