MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binomrisefac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomrisefac 14979
Description: A version of the binomial theorem using rising factorials instead of exponentials. (Contributed by Scott Fenton, 16-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
binomrisefac ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) RiseFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 RiseFac 𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem binomrisefac
StepHypRef Expression
1 negdi 10544 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 + -𝐵))
213adant3 1126 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 + -𝐵))
32oveq1d 6811 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = ((-𝐴 + -𝐵) FallFac 𝑁))
4 negcl 10487 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
5 negcl 10487 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
6 id 22 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
7 binomfallfac 14978 . . . . . 6 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-𝐴 + -𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘))))
84, 5, 6, 7syl3an 1163 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-𝐴 + -𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘))))
93, 8eqtrd 2805 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘))))
109oveq2d 6812 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-(𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))))
11 fzfid 12980 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...𝑁) ∈ Fin)
12 neg1cn 11330 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
13 expcl 13085 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
1412, 13mpan 670 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
15143ad2ant3 1129 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
16 simp3 1132 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
17 elfzelz 12549 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
18 bccl 13313 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
1916, 17, 18syl2an 583 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
2019nn0cnd 11560 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
21 simpl1 1227 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2221negcld 10585 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → -𝐴 ∈ ℂ)
2316nn0zd 11687 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
24 zsubcl 11626 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
2523, 17, 24syl2an 583 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
26 elfzle2 12552 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘𝑁)
2726adantl 467 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘𝑁)
28 simpl3 1231 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2928nn0red 11559 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
30 elfznn0 12640 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3130adantl 467 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3231nn0red 11559 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
3329, 32subge0d 10823 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (0 ≤ (𝑁𝑘) ↔ 𝑘𝑁))
3427, 33mpbird 247 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ (𝑁𝑘))
35 elnn0z 11597 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁𝑘) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁𝑘)))
3625, 34, 35sylanbrc 572 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
37 fallfaccl 14953 . . . . . . 7 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0) → (-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
3822, 36, 37syl2anc 573 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
39 simp2 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
4039negcld 10585 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝐵 ∈ ℂ)
41 fallfaccl 14953 . . . . . . 7 ((-𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-𝐵 FallFac 𝑘) ∈ ℂ)
4240, 30, 41syl2an 583 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-𝐵 FallFac 𝑘) ∈ ℂ)
4338, 42mulcld 10266 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)) ∈ ℂ)
4420, 43mulcld 10266 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
4511, 15, 44fsummulc2 14723 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑁) · ((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))))
4610, 45eqtrd 2805 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-(𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑁) · ((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))))
47 addcl 10224 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
48 risefallfac 14961 . . 3 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-(𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁)))
4947, 48stoic3 1849 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-(𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁)))
50 risefallfac 14961 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) = ((-1↑(𝑁𝑘)) · (-𝐴 FallFac (𝑁𝑘))))
5121, 36, 50syl2anc 573 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) = ((-1↑(𝑁𝑘)) · (-𝐴 FallFac (𝑁𝑘))))
52 simpl2 1229 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
53 risefallfac 14961 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 RiseFac 𝑘) = ((-1↑𝑘) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))
5452, 31, 53syl2anc 573 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 RiseFac 𝑘) = ((-1↑𝑘) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))
5551, 54oveq12d 6814 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 RiseFac 𝑘)) = (((-1↑(𝑁𝑘)) · (-𝐴 FallFac (𝑁𝑘))) · ((-1↑𝑘) · (-𝐵 FallFac 𝑘))))
56 expcl 13085 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
5712, 36, 56sylancr 575 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑(𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
58 expcl 13085 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
5912, 30, 58sylancr 575 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
6059adantl 467 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
6157, 38, 60, 42mul4d 10454 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((-1↑(𝑁𝑘)) · (-𝐴 FallFac (𝑁𝑘))) · ((-1↑𝑘) · (-𝐵 FallFac 𝑘))) = (((-1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘)) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘))))
6212a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → -1 ∈ ℂ)
6362, 31, 36expaddd 13217 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑((𝑁𝑘) + 𝑘)) = ((-1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘)))
6416nn0cnd 11560 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
6530nn0cnd 11560 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
66 npcan 10496 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑘) + 𝑘) = 𝑁)
6764, 65, 66syl2an 583 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) + 𝑘) = 𝑁)
6867oveq2d 6812 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑((𝑁𝑘) + 𝑘)) = (-1↑𝑁))
6963, 68eqtr3d 2807 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((-1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘)) = (-1↑𝑁))
7069oveq1d 6811 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((-1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘)) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘))) = ((-1↑𝑁) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘))))
7155, 61, 703eqtrd 2809 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 RiseFac 𝑘)) = ((-1↑𝑁) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘))))
7271oveq2d 6812 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 RiseFac 𝑘))) = ((𝑁C𝑘) · ((-1↑𝑁) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))))
7315adantr 466 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
7420, 73, 43mul12d 10451 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑𝑁) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))) = ((-1↑𝑁) · ((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))))
7572, 74eqtrd 2805 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 RiseFac 𝑘))) = ((-1↑𝑁) · ((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))))
7675sumeq2dv 14641 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 RiseFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑁) · ((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))))
7746, 49, 763eqtr4d 2815 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) RiseFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 RiseFac 𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4787  (class class class)co 6796  cc 10140  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147  cle 10281  cmin 10472  -cneg 10473  0cn0 11499  cz 11584  ...cfz 12533  cexp 13067  Ccbc 13293  Σcsu 14624   FallFac cfallfac 14941   RiseFac crisefac 14942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-prod 14843  df-risefac 14943  df-fallfac 14944
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator