MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binomfallfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomfallfac 14977
Description: A version of the binomial theorem using falling factorials instead of exponentials. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
binomfallfac ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem binomfallfac
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6800 . . . . . 6 (𝑚 = 0 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = ((𝐴 + 𝐵) FallFac 0))
2 oveq2 6800 . . . . . . . 8 (𝑚 = 0 → (0...𝑚) = (0...0))
3 0z 11589 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
4 fzsn 12589 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0...0) = {0}
62, 5syl6eq 2820 . . . . . . 7 (𝑚 = 0 → (0...𝑚) = {0})
7 oveq1 6799 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 0 → (𝑚C𝑘) = (0C𝑘))
8 oveq1 6799 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 0 → (𝑚𝑘) = (0 − 𝑘))
98oveq2d 6808 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 0 → (𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) = (𝐴 FallFac (0 − 𝑘)))
109oveq1d 6807 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 0 → ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
117, 10oveq12d 6810 . . . . . . . 8 (𝑚 = 0 → ((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
1211adantr 466 . . . . . . 7 ((𝑚 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑚)) → ((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
136, 12sumeq12dv 14644 . . . . . 6 (𝑚 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ {0} ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
141, 13eqeq12d 2785 . . . . 5 (𝑚 = 0 → (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ↔ ((𝐴 + 𝐵) FallFac 0) = Σ𝑘 ∈ {0} ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
1514imbi2d 329 . . . 4 (𝑚 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 0) = Σ𝑘 ∈ {0} ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))))
16 oveq2 6800 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑛))
17 oveq2 6800 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (0...𝑚) = (0...𝑛))
18 oveq1 6799 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚C𝑘) = (𝑛C𝑘))
19 oveq1 6799 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚𝑘) = (𝑛𝑘))
2019oveq2d 6808 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) = (𝐴 FallFac (𝑛𝑘)))
2120oveq1d 6807 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
2218, 21oveq12d 6810 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
2322adantr 466 . . . . . . 7 ((𝑚 = 𝑛𝑘 ∈ (0...𝑚)) → ((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
2417, 23sumeq12dv 14644 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
2516, 24eqeq12d 2785 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ↔ ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑛) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
2625imbi2d 329 . . . 4 (𝑚 = 𝑛 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑛) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))))
27 oveq2 6800 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑛 + 1)))
28 oveq2 6800 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (0...𝑚) = (0...(𝑛 + 1)))
29 oveq1 6799 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚C𝑘) = ((𝑛 + 1)C𝑘))
30 oveq1 6799 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚𝑘) = ((𝑛 + 1) − 𝑘))
3130oveq2d 6808 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) = (𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)))
3231oveq1d 6807 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
3329, 32oveq12d 6810 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (((𝑛 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
3433adantr 466 . . . . . . 7 ((𝑚 = (𝑛 + 1) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑚)) → ((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (((𝑛 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
3528, 34sumeq12dv 14644 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑛 + 1) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))(((𝑛 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
3627, 35eqeq12d 2785 . . . . 5 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ↔ ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑛 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))(((𝑛 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
3736imbi2d 329 . . . 4 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑛 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))(((𝑛 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))))
38 oveq2 6800 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁))
39 oveq2 6800 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑁 → (0...𝑚) = (0...𝑁))
40 oveq1 6799 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚C𝑘) = (𝑁C𝑘))
41 oveq1 6799 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚𝑘) = (𝑁𝑘))
4241oveq2d 6808 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑁 → (𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) = (𝐴 FallFac (𝑁𝑘)))
4342oveq1d 6807 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
4440, 43oveq12d 6810 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
4544adantr 466 . . . . . . 7 ((𝑚 = 𝑁𝑘 ∈ (0...𝑚)) → ((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
4639, 45sumeq12dv 14644 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
4738, 46eqeq12d 2785 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ↔ ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
4847imbi2d 329 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))))
49 fallfac0 14964 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 FallFac 0) = 1)
50 fallfac0 14964 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 FallFac 0) = 1)
5149, 50oveqan12d 6811 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0)) = (1 · 1))
52 1t1e1 11376 . . . . . . . 8 (1 · 1) = 1
5351, 52syl6eq 2820 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0)) = 1)
5453oveq2d 6808 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0))) = (1 · 1))
5554, 52syl6eq 2820 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0))) = 1)
56 0cn 10233 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
57 ax-1cn 10195 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
5855, 57syl6eqel 2857 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0))) ∈ ℂ)
59 oveq2 6800 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = (0C0))
60 0nn0 11508 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
61 bcnn 13302 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℕ0 → (0C0) = 1)
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0C0) = 1
6359, 62syl6eq 2820 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = 1)
64 oveq2 6800 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = (0 − 0))
65 0m0e0 11331 . . . . . . . . . . 11 (0 − 0) = 0
6664, 65syl6eq 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = 0)
6766oveq2d 6808 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) = (𝐴 FallFac 0))
68 oveq2 6800 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝐵 FallFac 𝑘) = (𝐵 FallFac 0))
6967, 68oveq12d 6810 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0)))
7063, 69oveq12d 6810 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (1 · ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0))))
7170sumsn 14682 . . . . . 6 ((0 ∈ ℂ ∧ (1 · ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0))) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (1 · ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0))))
7256, 58, 71sylancr 567 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (1 · ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0))))
73 addcl 10219 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
74 fallfac0 14964 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 0) = 1)
7573, 74syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 0) = 1)
7655, 72, 753eqtr4rd 2815 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 0) = Σ𝑘 ∈ {0} ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
77 simprl 746 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
78 simprr 748 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
79 simpl 468 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
80 id 22 . . . . . . 7 (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑛) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑛) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
8177, 78, 79, 80binomfallfaclem2 14976 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑛) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑛 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))(((𝑛 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
8281exp31 406 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑛) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑛 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))(((𝑛 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))))
8382a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑛) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑛 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))(((𝑛 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))))
8415, 26, 37, 48, 76, 83nn0ind 11673 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
8584com12 32 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
86853impia 1108 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  {csn 4314  (class class class)co 6792  cc 10135  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142  cmin 10467  0cn0 11493  cz 11578  ...cfz 12532  Ccbc 13292  Σcsu 14623   FallFac cfallfac 14940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624  df-prod 14842  df-risefac 14942  df-fallfac 14943
This theorem is referenced by:  binomrisefac  14978
  Copyright terms: Public domain W3C validator