Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemwb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemwb 39018
Description: Lemma for binomcxp 39027. The lemma in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxplem.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
binomcxplemwb (𝜑 → (((𝐶𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)))

Proof of Theorem binomcxplemwb
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 binomcxplem.k . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
32nncnd 11199 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
41, 3npcand 10559 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶𝐾) + 𝐾) = 𝐶)
54oveq1d 6816 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶𝐾) + 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)))
61, 3subcld 10555 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐾) ∈ ℂ)
72nnnn0d 11514 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
8 fallfaccl 14917 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
91, 7, 8syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
106, 3, 9adddird 10228 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶𝐾) + 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))))
115, 10eqtr3d 2784 . . 3 (𝜑 → (𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))))
1211oveq1d 6816 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)))
131, 7bccval 39008 . . . 4 (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
1413oveq2d 6817 . . 3 (𝜑 → (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)) = (𝐶 · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
15 faccl 13235 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
1615nncnd 11199 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
177, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
18 facne0 13238 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ≠ 0)
197, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
201, 9, 17, 19divassd 10999 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = (𝐶 · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
2114, 20eqtr4d 2785 . 2 (𝜑 → (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)) = ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)))
226, 9, 17, 19divassd 10999 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((𝐶𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
2322oveq1d 6816 . . 3 (𝜑 → ((((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))) = (((𝐶𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
246, 9mulcld 10223 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) ∈ ℂ)
253, 9mulcld 10223 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) ∈ ℂ)
2624, 25, 17, 19divdird 11002 . . 3 (𝜑 → ((((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)) = ((((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
2713oveq2d 6817 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) = ((𝐶𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
28 nnm1nn0 11497 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
292, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
30 faccl 13235 . . . . . . . 8 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
3130nncnd 11199 . . . . . . 7 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
3229, 31syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
33 facne0 13238 . . . . . . 7 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ≠ 0)
3429, 33syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝐾 − 1)) ≠ 0)
352nnne0d 11228 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ≠ 0)
369, 32, 3, 34, 35divcan5d 10990 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1)))) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))))
37 1cnd 10219 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
383, 37npcand 10559 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
3938fveq2d 6344 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = (!‘𝐾))
4038oveq2d 6817 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
41 facp1 13230 . . . . . . . . 9 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)))
4229, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)))
433, 32mulcomd 10224 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
4440, 42, 433eqtr4d 2792 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))))
4539, 44eqtr3d 2784 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝐾) = (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))))
4645oveq2d 6817 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1)))))
473, 37subcld 10555 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
481, 47subcld 10555 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 − (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
49 fallfaccl 14917 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
501, 29, 49syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
5148, 50, 32, 34divassd 10999 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) / (!‘(𝐾 − 1))) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1)))))
5238oveq2d 6817 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = (𝐶 FallFac 𝐾))
53 fallfacp1 14931 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
541, 29, 53syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
5552, 54eqtr3d 2784 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
5648, 50mulcomd 10224 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
5755, 56eqtr4d 2785 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))))
5857oveq1d 6816 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))) = (((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) / (!‘(𝐾 − 1))))
591, 29bccval 39008 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1))))
6059oveq2d 6817 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1)))))
6151, 58, 603eqtr4rd 2793 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))))
6236, 46, 613eqtr4rd 2793 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)))
6327, 62oveq12d 6819 . . 3 (𝜑 → (((𝐶𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = (((𝐶𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
6423, 26, 633eqtr4rd 2793 . 2 (𝜑 → (((𝐶𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = ((((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)))
6512, 21, 643eqtr4rd 2793 1 (𝜑 → (((𝐶𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  cfv 6037  (class class class)co 6801  cc 10097  0cc0 10099  1c1 10100   + caddc 10102   · cmul 10104  cmin 10429   / cdiv 10847  cn 11183  0cn0 11455  !cfa 13225   FallFac cfallfac 14905  C𝑐cbcc 39006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-seq 12967  df-exp 13026  df-fac 13226  df-hash 13283  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-clim 14389  df-prod 14806  df-fallfac 14908  df-bcc 39007
This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  39026
  Copyright terms: Public domain W3C validator