Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemradcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemradcnv 38868
Description: Lemma for binomcxp 38873. By binomcxplemfrat 38867 and radcnvrat 38830 the radius of convergence of power series Σ𝑘 ∈ ℕ0((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) is one. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
binomcxplem.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
Assertion
Ref Expression
binomcxplemradcnv ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝑘,𝑏,𝐹   𝑗,𝑘,𝜑   𝐶,𝑗   𝑆,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑏)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐶(𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑟)

Proof of Theorem binomcxplemradcnv
Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.s . . . 4 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
2 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑥)
32oveq1d 6705 . . . . . . . 8 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏𝑘) = (𝑥𝑘))
43oveq2d 6706 . . . . . . 7 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐹𝑘) · (𝑥𝑘)))
54mpteq2dva 4777 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑥 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑥𝑘))))
6 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑦 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑦))
7 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑦 → (𝑥𝑘) = (𝑥𝑦))
86, 7oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑦 → ((𝐹𝑘) · (𝑥𝑘)) = ((𝐹𝑦) · (𝑥𝑦)))
98cbvmptv 4783 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑥𝑘))) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑦) · (𝑥𝑦)))
105, 9syl6eq 2701 . . . . 5 (𝑏 = 𝑥 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑦) · (𝑥𝑦))))
1110cbvmptv 4783 . . . 4 (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑦) · (𝑥𝑦))))
121, 11eqtri 2673 . . 3 𝑆 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑦) · (𝑥𝑦))))
13 binomcxp.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1413ad2antrr 762 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
15 simpr 476 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
1614, 15bcccl 38855 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑗) ∈ ℂ)
17 binomcxplem.f . . . 4 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
1816, 17fmptd 6425 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℕ0⟶ℂ)
19 binomcxplem.r . . 3 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
20 oveq1 6697 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 + 1) = (𝑖 + 1))
2120fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
22 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑖))
2321, 22oveq12d 6708 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) = ((𝐹‘(𝑖 + 1)) / (𝐹𝑖)))
2423fveq2d 6233 . . . 4 (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) = (abs‘((𝐹‘(𝑖 + 1)) / (𝐹𝑖))))
2524cbvmptv 4783 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑖 + 1)) / (𝐹𝑖))))
26 nn0uz 11760 . . 3 0 = (ℤ‘0)
27 0nn0 11345 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2827a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
2917a1i 11 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
30 simpr 476 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑖) → 𝑗 = 𝑖)
3130oveq2d 6706 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑖) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑖))
32 simpr 476 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
33 ovexd 6720 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑖) ∈ V)
3429, 31, 32, 33fvmptd 6327 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑖) = (𝐶C𝑐𝑖))
35 elfznn0 12471 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
3635con3i 150 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1)))
3736ad2antlr 763 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1)))
3813adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
39 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
4038, 39bcc0 38856 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑖) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1))))
4140necon3abid 2859 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑖) ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1))))
4241adantlr 751 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑖) ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1))))
4337, 42mpbird 247 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑖) ≠ 0)
4434, 43eqnetrd 2890 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑖) ≠ 0)
45 binomcxp.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
46 binomcxp.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
47 binomcxp.lt . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
4845, 46, 47, 13, 17binomcxplemfrat 38867 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)))) ⇝ 1)
49 ax-1ne0 10043 . . . 4 1 ≠ 0
5049a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ≠ 0)
5112, 18, 19, 25, 26, 28, 44, 48, 50radcnvrat 38830 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (1 / 1))
52 1div1e1 10755 . 2 (1 / 1) = 1
5351, 52syl6eq 2701 1 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  {crab 2945  Vcvv 3231   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  cfv 5926  (class class class)co 6690  supcsup 8387  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  cmin 10304   / cdiv 10722  0cn0 11330  +crp 11870  ...cfz 12364  seqcseq 12841  cexp 12900  abscabs 14018  cli 14259  C𝑐cbcc 38852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-prod 14680  df-fallfac 14782  df-bcc 38853
This theorem is referenced by:  binomcxplemdvbinom  38869  binomcxplemnotnn0  38872
  Copyright terms: Public domain W3C validator