Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemnotnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemnotnn0 38872
 Description: Lemma for binomcxp 38873. When 𝐶 is not a nonnegative integer, the generalized sum in binomcxplemnn0 38865 —which we will call 𝑃 —is a convergent power series: its base 𝑏 is always of smaller absolute value than the radius of convergence. pserdv2 24229 gives the derivative of 𝑃, which by dvradcnv 24220 also converges in that radius. When 𝐴 is fixed at one, (𝐴 + 𝑏) times that derivative equals (𝐶 · 𝑃) and fraction (𝑃 / ((𝐴 + 𝑏)↑𝑐𝐶)) is always defined with derivative zero, so the fraction is a constant—specifically one, because ((1 + 0)↑𝑐𝐶) = 1. Thus ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶) = (𝑃‘𝑏). Finally, let 𝑏 be (𝐵 / 𝐴), and multiply both the binomial ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) and the sum (𝑃‘(𝐵 / 𝐴)) by (𝐴↑𝑐𝐶) to get the result. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
binomcxplem.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
binomcxplem.d 𝐷 = (abs “ (0[,)𝑅))
binomcxplem.p 𝑃 = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))
Assertion
Ref Expression
binomcxplemnotnn0 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑏,𝑟,𝐴   𝐵,𝑏,𝑘,𝑟   𝑗,𝑏,𝜑,𝑘   𝐶,𝑏,𝑗,𝑘   𝐹,𝑏,𝑘,𝑟   𝑆,𝑘,𝑟   𝐷,𝑗,𝑘   𝑗,𝐸,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑟)   𝐷(𝑟,𝑏)   𝑃(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑏)   𝐸(𝑟,𝑏)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem binomcxplemnotnn0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))
2 binomcxplem.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (abs “ (0[,)𝑅))
3 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑏abs
4 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑏0
5 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑏[,)
6 binomcxplem.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
7 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏 +
8 binomcxplem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
9 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
108, 9nfcxfr 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑏𝑆
11 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑏𝑟
1210, 11nffv 6236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏(𝑆𝑟)
134, 7, 12nfseq 12851 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑏seq0( + , (𝑆𝑟))
1413nfel1 2808 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝
15 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏
1614, 15nfrab 3153 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏{𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }
17 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏*
18 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏 <
1916, 17, 18nfsup 8398 . . . . . . . . . . . 12 𝑏sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
206, 19nfcxfr 2791 . . . . . . . . . . 11 𝑏𝑅
214, 5, 20nfov 6716 . . . . . . . . . 10 𝑏(0[,)𝑅)
223, 21nfima 5509 . . . . . . . . 9 𝑏(abs “ (0[,)𝑅))
232, 22nfcxfr 2791 . . . . . . . 8 𝑏𝐷
24 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑥𝐷
25 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑥Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)
26 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑏0
27 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑏𝑥
2810, 27nffv 6236 . . . . . . . . . 10 𝑏(𝑆𝑥)
29 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑏𝑘
3028, 29nffv 6236 . . . . . . . . 9 𝑏((𝑆𝑥)‘𝑘)
3126, 30nfsum 14465 . . . . . . . 8 𝑏Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘)
32 simpl 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑥)
3332fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑏) = (𝑆𝑥))
3433fveq1d 6231 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝑆𝑥)‘𝑘))
3534sumeq2dv 14477 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘))
3623, 24, 25, 31, 35cbvmptf 4781 . . . . . . 7 (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) = (𝑥𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘))
371, 36eqtri 2673 . . . . . 6 𝑃 = (𝑥𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘))
3837a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑥𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘)))
39 simplr 807 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 = (𝐵 / 𝐴))
4039fveq2d 6233 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑥) = (𝑆‘(𝐵 / 𝐴)))
4140fveq1d 6231 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑥)‘𝑘) = ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘))
4241sumeq2dv 14477 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘))
43 binomcxp.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4443recnd 10106 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4544adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
46 binomcxp.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
4746rpcnd 11912 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4847adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
49 0red 10079 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
5045abscld 14219 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
5148abscld 14219 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
5245absge0d 14227 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
53 binomcxp.lt . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
5453adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
5549, 50, 51, 52, 54lelttrd 10233 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 < (abs‘𝐴))
5655gt0ne0d 10630 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
5748abs00ad 14074 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
5857necon3bid 2867 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
5956, 58mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 0)
6045, 48, 59divcld 10839 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
6160abscld 14219 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
6260absge0d 14227 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘(𝐵 / 𝐴)))
6351recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
6463mulid1d 10095 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
6554, 64breqtrrd 4713 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐵) < ((abs‘𝐴) · 1))
66 1red 10093 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
6751, 55elrpd 11907 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
6850, 66, 67ltdivmuld 11961 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ (abs‘𝐵) < ((abs‘𝐴) · 1)))
6965, 68mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)) < 1)
7045, 48, 59absdivd 14238 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)))
71 binomcxp.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
72 binomcxplem.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
7346, 43, 53, 71, 72, 8, 6binomcxplemradcnv 38868 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)
7469, 70, 733brtr4d 4717 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) < 𝑅)
75 0re 10078 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
76 ssrab2 3720 . . . . . . . . . . 11 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
77 ressxr 10121 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℝ*
7876, 77sstri 3645 . . . . . . . . . 10 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
79 supxrcl 12183 . . . . . . . . . 10 ({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8078, 79ax-mp 5 . . . . . . . . 9 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
816, 80eqeltri 2726 . . . . . . . 8 𝑅 ∈ ℝ*
82 elico2 12275 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) < 𝑅)))
8375, 81, 82mp2an 708 . . . . . . 7 ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) < 𝑅))
8461, 62, 74, 83syl3anbrc 1265 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅))
852eleq2i 2722 . . . . . . 7 ((𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝐵 / 𝐴) ∈ (abs “ (0[,)𝑅)))
86 absf 14121 . . . . . . . 8 abs:ℂ⟶ℝ
87 ffn 6083 . . . . . . . 8 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
88 elpreima 6377 . . . . . . . 8 (abs Fn ℂ → ((𝐵 / 𝐴) ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅))))
8986, 87, 88mp2b 10 . . . . . . 7 ((𝐵 / 𝐴) ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅)))
9085, 89bitri 264 . . . . . 6 ((𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅)))
9160, 84, 90sylanbrc 699 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷)
92 sumex 14462 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) ∈ V
9392a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) ∈ V)
9438, 42, 91, 93fvmptd 6327 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃‘(𝐵 / 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘))
95 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
9695cnbl0 22624 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
9781, 96ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
982, 97eqtri 2673 . . . . . . . . . 10 𝐷 = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
99 0cnd 10071 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℂ)
10081a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℝ*)
101 mulcl 10058 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
102101adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
103 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑏(𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0)
10423nfcri 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑏 𝑥𝐷
105103, 104nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷)
10631nfel1 2808 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ
107105, 106nfim 1865 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏(((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)
108 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑥 → (𝑏𝐷𝑥𝐷))
109108anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷)))
11035eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑥 → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ))
111109, 110imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑥 → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)))
112 nn0uz 11760 . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (ℤ‘0)
113 0zd 11427 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → 0 ∈ ℤ)
114 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝑆𝑏)‘𝑘))
115 cnvimass 5520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
1162, 115eqsstri 3668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 ⊆ dom abs
11786fdmi 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 dom abs = ℂ
118116, 117sseqtri 3670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 ⊆ ℂ
119118sseli 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏𝐷𝑏 ∈ ℂ)
1208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)))))
121 nn0ex 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ V
122121mptex 6527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) ∈ V
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑏 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) ∈ V)
124120, 123fvmpt2d 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑏 ∈ ℂ) → (𝑆𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
125 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) ∈ V)
126124, 125fvmpt2d 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)))
12772a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
128 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
129128oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
130 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
131 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ V)
132127, 129, 130, 131fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
133132oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
134133adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
135126, 134eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
136119, 135sylanl2 684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
13771ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
138 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
139137, 138bcccl 38855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
140119ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℂ)
141140, 138expcld 13048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏𝑘) ∈ ℂ)
142139, 141mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
143136, 142eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
144143adantllr 755 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
145 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥𝐷𝑏𝐷))
146145anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑏 → ((𝜑𝑥𝐷) ↔ (𝜑𝑏𝐷)))
147 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑏 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝑏))
148147seqeq3d 12849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑏 → seq0( + , (𝑆𝑥)) = seq0( + , (𝑆𝑏)))
149148eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑏 → (seq0( + , (𝑆𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ ))
150 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑏 → (𝐸𝑥) = (𝐸𝑏))
151150seqeq3d 12849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑏 → seq1( + , (𝐸𝑥)) = seq1( + , (𝐸𝑏)))
152151eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑏 → (seq1( + , (𝐸𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ dom ⇝ ))
153149, 152anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑏 → ((seq0( + , (𝑆𝑥)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸𝑥)) ∈ dom ⇝ ) ↔ (seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ dom ⇝ )))
154146, 153imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑏 → (((𝜑𝑥𝐷) → (seq0( + , (𝑆𝑥)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸𝑥)) ∈ dom ⇝ )) ↔ ((𝜑𝑏𝐷) → (seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ dom ⇝ ))))
155 binomcxplem.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
15646, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 155, 2binomcxplemcvg 38870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐷) → (seq0( + , (𝑆𝑥)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
157154, 156chvarv 2299 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑏𝐷) → (seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ dom ⇝ ))
158157simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑏𝐷) → seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ )
159158adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ )
160112, 113, 114, 144, 159isumcl 14536 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
161107, 111, 160chvar 2298 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)
162161, 37fmptd 6425 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃:𝐷⟶ℂ)
163 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → 1 ∈ ℂ)
164118sseli 3632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
165164adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ ℂ)
166163, 165addcld 10097 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → (1 + 𝑥) ∈ ℂ)
16771ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
168167negcld 10417 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ)
169166, 168cxpcld 24499 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ)
170 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)
171 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶)
172 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑥 → (1 + 𝑏) = (1 + 𝑥))
173172oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) = ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶))
17423, 24, 170, 171, 173cbvmptf 4781 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑥𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶))
175169, 174fmptd 6425 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶ℂ)
176 cnex 10055 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ ∈ V
177 fex 6530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
17886, 176, 177mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 abs ∈ V
179178cnvex 7155 . . . . . . . . . . . . . 14 abs ∈ V
180 imaexg 7145 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∈ V → (abs “ (0[,)𝑅)) ∈ V)
181179, 180ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (abs “ (0[,)𝑅)) ∈ V
1822, 181eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 ∈ V
183182a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ V)
184 inidm 3855 . . . . . . . . . . 11 (𝐷𝐷) = 𝐷
185102, 162, 175, 183, 183, 184off 6954 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))):𝐷⟶ℂ)
186 1ex 10073 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
187186fconst 6129 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 × {1}):𝐷⟶{1}
188 fconstmpt 5197 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 × {1}) = (𝑥𝐷 ↦ 1)
189 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏1
190 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥1
191 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑏 → 1 = 1)
19224, 23, 189, 190, 191cbvmptf 4781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐷 ↦ 1) = (𝑏𝐷 ↦ 1)
193188, 192eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 × {1}) = (𝑏𝐷 ↦ 1)
194193feq1i 6074 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 × {1}):𝐷⟶{1} ↔ (𝑏𝐷 ↦ 1):𝐷⟶{1})
195187, 194mpbi 220 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏𝐷 ↦ 1):𝐷⟶{1}
196 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
197 snssi 4371 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℂ → {1} ⊆ ℂ)
198196, 197ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 {1} ⊆ ℂ
199 fss 6094 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏𝐷 ↦ 1):𝐷⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℂ) → (𝑏𝐷 ↦ 1):𝐷⟶ℂ)
200195, 198, 199mp2an 708 . . . . . . . . . . 11 (𝑏𝐷 ↦ 1):𝐷⟶ℂ
201200a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ 1):𝐷⟶ℂ)
202 cnelprrecn 10067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
203202a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
20446, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 155, 2, 1binomcxplemdvsum 38871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)))
205204adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D 𝑃) = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)))
206 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)
207 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑏
208 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
209155, 208nfcxfr 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑏𝐸
210209, 27nffv 6236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑏(𝐸𝑥)
211210, 29nffv 6236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑏((𝐸𝑥)‘𝑘)
212207, 211nfsum 14465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑏Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑥)‘𝑘)
213 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 = 𝑥)
214213fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ) → (𝐸𝑏) = (𝐸𝑥))
215214fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑏)‘𝑘) = ((𝐸𝑥)‘𝑘))
216215sumeq2dv 14477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑥)‘𝑘))
21723, 24, 206, 212, 216cbvmptf 4781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝑥𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑥)‘𝑘))
218205, 217syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D 𝑃) = (𝑥𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑥)‘𝑘)))
219 sumex 14462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑥)‘𝑘) ∈ V
220219a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑥)‘𝑘) ∈ V)
221218, 220fmpt3d 6426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D 𝑃):𝐷⟶V)
222 fdm 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℂ D 𝑃):𝐷⟶V → dom (ℂ D 𝑃) = 𝐷)
223221, 222syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → dom (ℂ D 𝑃) = 𝐷)
22446, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 155, 2binomcxplemdvbinom 38869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
225 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
226 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑏(-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
227172oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)) = ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
228227oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑥 → (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) = (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
22923, 24, 225, 226, 228cbvmptf 4781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑥𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
230224, 229syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑥𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
231168, 163subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → (-𝐶 − 1) ∈ ℂ)
232166, 231cxpcld 24499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)) ∈ ℂ)
233168, 232mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ ℂ)
234230, 233fmpt3d 6426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))):𝐷⟶ℂ)
235 fdm 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))):𝐷⟶ℂ → dom (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝐷)
236234, 235syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → dom (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝐷)
237203, 162, 175, 223, 236dvmulf 23751 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (((ℂ D 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 + ((ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 · 𝑃)))
23871ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
239238mulid1d 10095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 · 1) = 𝐶)
240239oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 · 1) + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))) = (𝐶 + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))))
241 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → 1 ∈ ℂ)
242 nnuz 11761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ℕ = (ℤ‘1)
243 1zzd 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → 1 ∈ ℤ)
244 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
245244, 136sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
246245adantllr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
24771ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
248 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
249247, 248bcccl 38855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
250244, 249sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
251119adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑏 ∈ ℂ)
252251adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℂ)
253252, 248expcld 13048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏𝑘) ∈ ℂ)
254244, 253sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏𝑘) ∈ ℂ)
255250, 254mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
256 1nn0 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1 ∈ ℕ0
257256a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑏𝐷) → 1 ∈ ℕ0)
258112, 257, 143iserex 14431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑏𝐷) → (seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ ))
259158, 258mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑏𝐷) → seq1( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ )
260259adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq1( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ )
261242, 243, 246, 255, 260isumcl 14536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
262238, 241, 261adddid 10102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 · (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))) = ((𝐶 · 1) + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))))
263155a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝜑𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))))
264 nnex 11064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ℕ ∈ V
265264mptex 6527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
266265a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑏 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
267263, 266fvmpt2d 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑏 ∈ ℂ) → (𝐸𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
268119, 267sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝐸𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
269268adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐸𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
270 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V)
271269, 270fmpt3d 6426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐸𝑏):ℕ⟶V)
272271feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐸𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐸𝑏)‘𝑘)))
273 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V)
274267, 273fvmpt2d 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑏)‘𝑘) = ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
275244, 132sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
276275oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐹𝑘)) = (𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)))
277276oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
278277adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
279274, 278eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑏)‘𝑘) = ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
28071adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
281 nnm1nn0 11372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
282281adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
283280, 282bccp1k 38857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / ((𝑘 − 1) + 1))))
284244adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
285284nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
286 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
287285, 286npcand 10434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
288287oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐((𝑘 − 1) + 1)) = (𝐶C𝑐𝑘))
289287oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / ((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘))
290289oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / ((𝑘 − 1) + 1))) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)))
291283, 288, 2903eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐𝑘) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)))
292291oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) = (𝑘 · ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘))))
293280, 282bcccl 38855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
294285, 286subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
295280, 294subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
296 nnne0 11091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
297296adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
298293, 295, 285, 297divassd 10874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) / 𝑘) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)))
299298oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) / 𝑘)) = (𝑘 · ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘))))
300293, 295mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
301300, 285, 297divcan2d 10841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) / 𝑘)) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))))
302292, 299, 3013eqtr2d 2691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))))
303302oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
304303adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
305293adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
306295adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
307305, 306mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) = ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))))
308307oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
309279, 304, 3083eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑏)‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
310119, 309sylanl2 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑏)‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
311310adantllr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑏)‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
312311mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
313272, 312eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐸𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
314313oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐸𝑏) shift -1) = ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) shift -1))
315 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
316 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V
317 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝑘 − 1) = ((𝑗 − -1) − 1))
318317oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) = (𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)))
319317oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) = (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1)))
320318, 319oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 = (𝑗 − -1) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) = ((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))))
321317oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))
322320, 321oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 = (𝑗 − -1) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1))))
323 1pneg1e0 11167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (1 + -1) = 0
324323fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (ℤ‘(1 + -1)) = (ℤ‘0)
325112, 324eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 0 = (ℤ‘(1 + -1))
326243znegcld 11522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → -1 ∈ ℤ)
327315, 316, 322, 242, 325, 243, 326uzmptshftfval 38862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) shift -1) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))))
328 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − -1) = (𝑘 − -1))
329328oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 − -1) − 1) = ((𝑘 − -1) − 1))
330329oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑗 = 𝑘 → (𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) = (𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)))
331329oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑗 = 𝑘 → (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1)) = (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1)))
332330, 331oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) = ((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))))
333329oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑗 = 𝑘 → (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)) = (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))
334332, 333oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1))) = (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1))))
335334cbvmptv 4783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1))))
336335a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))))
337314, 327, 3363eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐸𝑏) shift -1) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))))
338 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
339 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
340338, 339subnegd 10437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 − -1) = (𝑘 + 1))
341340oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 − -1) − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
342338, 339pncand 10431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
343341, 342eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 − -1) − 1) = 𝑘)
344343adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 − -1) − 1) = 𝑘)
345344oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) = (𝐶𝑘))
346344oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1)) = (𝐶C𝑐𝑘))
347345, 346oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) = ((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)))
348344oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)) = (𝑏𝑘))
349347, 348oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1))) = (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
350349mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))))
351337, 350eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐸𝑏) shift -1) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))))
352 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) ∈ V)
353351, 352fvmpt2d 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐸𝑏) shift -1)‘𝑘) = (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
354244, 353sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐸𝑏) shift -1)‘𝑘) = (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
355338adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
356247, 355subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
357356, 249mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) ∈ ℂ)
358357, 253mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
359244, 358sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
360 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐸𝑏)‘𝑘) = ((𝐸𝑏)‘𝑗))
361360oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑘 = 𝑗 → (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗)))
362361cbvmptv 4783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑘))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗)))
363311oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
364251adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℂ)
36571ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
366 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
367366adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
368 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
369367, 368subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
370365, 369subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
371281adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
372365, 371bcccl 38855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
373370, 372mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
374364, 371expcld 13048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
375364, 373, 374mul12d 10283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
376364, 374mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑏↑(𝑘 − 1)) · 𝑏))
377364, 371expp1d 13049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝑏↑(𝑘 − 1)) · 𝑏))
378287adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
379378adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
380379oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑((𝑘 − 1) + 1)) = (𝑏𝑘))
381376, 377, 3803eqtr2d 2691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (𝑏𝑘))
382381oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))
383375, 382eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))
384363, 383eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))
385384mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))))
386362, 385syl5eqr 2699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))))
387 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)) ∈ V)
388386, 387fvmpt2d 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗)))‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))
389373, 254mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
390 climrel 14267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Rel ⇝
391157simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑏𝐷) → seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ dom ⇝ )
392391adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ dom ⇝ )
393 climdm 14329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (𝐸𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))))
394392, 393sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq1( + , (𝐸𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))))
395 0z 11426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 0 ∈ ℤ
396 neg1z 11451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 -1 ∈ ℤ
397 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝐸𝑏) ∈ V
398397seqshft 13869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , (𝐸𝑏)) shift -1))
399395, 396, 398mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , (𝐸𝑏)) shift -1)
400 0cn 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 0 ∈ ℂ
401400, 196subnegi 10398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (0 − -1) = (0 + 1)
402 0p1e1 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (0 + 1) = 1
403401, 402eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0 − -1) = 1
404 seqeq1 12844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((0 − -1) = 1 → seq(0 − -1)( + , (𝐸𝑏)) = seq1( + , (𝐸𝑏)))
405403, 404ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 seq(0 − -1)( + , (𝐸𝑏)) = seq1( + , (𝐸𝑏))
406405oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (seq(0 − -1)( + , (𝐸𝑏)) shift -1) = (seq1( + , (𝐸𝑏)) shift -1)
407399, 406eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) = (seq1( + , (𝐸𝑏)) shift -1)
408407breq1i 4692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))) ↔ (seq1( + , (𝐸𝑏)) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))))
409 seqex 12843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ V
410 climshft 14351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((-1 ∈ ℤ ∧ seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ V) → ((seq1( + , (𝐸𝑏)) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))) ↔ seq1( + , (𝐸𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏)))))
411396, 409, 410mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((seq1( + , (𝐸𝑏)) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))) ↔ seq1( + , (𝐸𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))))
412408, 411bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))) ↔ seq1( + , (𝐸𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))))
413394, 412sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))))
414 releldm 5390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((Rel ⇝ ∧ seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏)))) → seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
415390, 413, 414sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
416256a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → 1 ∈ ℕ0)
417353, 358eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐸𝑏) shift -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
418112, 416, 417iserex 14431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ ))
419415, 418mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq1( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
420373, 374mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
421311, 420eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
422388, 384eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗)))‘𝑘) = (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑘)))
423242, 243, 251, 394, 421, 422isermulc2 14432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗)))) ⇝ (𝑏 · ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏)))))
424 releldm 5390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((Rel ⇝ ∧ seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗)))) ⇝ (𝑏 · ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))))) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗)))) ∈ dom ⇝ )
425390, 423, 424sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗)))) ∈ dom ⇝ )
426242, 243, 354, 359, 388, 389, 419, 425isumadd 14542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))))
427426oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))) = (𝐶 + (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))))
428365, 367subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
429428, 250mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) ∈ ℂ)
430429, 373, 254adddird 10103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏𝑘)) = ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))))
431430sumeq2dv 14477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))))
432431oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))))
433309sumeq2dv 14477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑏 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
434433oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑏 ∈ ℂ) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
435119, 434sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
436435adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
437242, 243, 311, 420, 392isumcl 14536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
438241, 251, 437adddird 10103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = ((1 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) + (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))))
439437mulid2d 10096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
440242, 243, 311, 420, 392, 251isummulc2 14537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
441383sumeq2dv 14477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))
442440, 441eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))
443439, 442oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) + (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) = (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))))
444436, 438, 4433eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))))
445402fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ℤ‘(0 + 1)) = (ℤ‘1)
446242, 445eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ℕ = (ℤ‘(0 + 1))
447 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝑘 − 1) = ((1 + 𝑗) − 1))
448447oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) = (𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)))
449447oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) = (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1)))
450448, 449oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 = (1 + 𝑗) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) = ((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))))
451447oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1)))
452450, 451oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑘 = (1 + 𝑗) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))))
453112, 446, 452, 243, 113, 420isumshft 14615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))))
454 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑗 = 𝑘 → (1 + 𝑗) = (1 + 𝑘))
455454oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑗 = 𝑘 → ((1 + 𝑗) − 1) = ((1 + 𝑘) − 1))
456455oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑗 = 𝑘 → (𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) = (𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)))
457455oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑗 = 𝑘 → (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1)) = (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1)))
458456, 457oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) = ((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))))
459455oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑗 = 𝑘 → (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1)) = (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1)))
460458, 459oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))) = (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))))
461460cbvsumv 14470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Σ𝑗 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1)))
462461a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))))
463 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
464463, 355pncan2d 10432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝑘) − 1) = 𝑘)
465464oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) = (𝐶𝑘))
466464oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1)) = (𝐶C𝑐𝑘))
467465, 466oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) = ((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)))
468464oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1)) = (𝑏𝑘))
469467, 468oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))) = (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
470469sumeq2dv 14477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
471453, 462, 4703eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
472112, 113, 353, 358, 415isum1p 14617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) = ((((𝐸𝑏) shift -1)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))(((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))))
473 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
474473oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶𝑘) = (𝐶 − 0))
475473oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑐0))
476474, 475oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) = ((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)))
477473oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝑏𝑘) = (𝑏↑0))
478476, 477oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) = (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)))
479 0nn0 11345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 0 ∈ ℕ0
480479a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → 0 ∈ ℕ0)
481 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)) ∈ V)
482351, 478, 480, 481fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐸𝑏) shift -1)‘0) = (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)))
483238subid1d 10419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 − 0) = 𝐶)
484238bccn0 38859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶C𝑐0) = 1)
485483, 484oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) = (𝐶 · 1))
486485, 239eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) = 𝐶)
487251exp0d 13042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑏↑0) = 1)
488486, 487oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)) = (𝐶 · 1))
489482, 488, 2393eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐸𝑏) shift -1)‘0) = 𝐶)
490446eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ℤ‘(0 + 1)) = ℕ
491490sumeq1i 14472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))(((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))
492491a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))(((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
493489, 492oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((((𝐸𝑏) shift -1)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))(((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))))
494471, 472, 4933eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))))
495494oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))) = ((𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))))
496242, 243, 354, 359, 419isumcl 14536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
497251, 437mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
498442, 497eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
499238, 496, 498addassd 10100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))) = (𝐶 + (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))))
500444, 495, 4993eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 + (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))))
501427, 432, 5003eqtr4rd 2696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏𝑘))))
502 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
503280, 502binomcxplemwb 38864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) = (𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)))
504503oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏𝑘)) = ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
505504sumeq2dv 14477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
506505oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))))
507506ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))))
508365, 250, 254mulassd 10101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) = (𝐶 · ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘))))
509508sumeq2dv 14477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐶 · ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘))))
510242, 243, 246, 255, 260, 238isummulc2 14537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐶 · ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘))))
511509, 510eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘))))
512511oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))) = (𝐶 + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))))
513501, 507, 5123eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))))
514240, 262, 5133eqtr4rd 2696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 · (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))))
5158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)))))
516122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) ∈ V)
517515, 516fvmpt2d 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑆𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
518119, 517sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑆𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
519 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) ∈ V)
520518, 519fvmpt2d 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)))
521520sumeq2dv 14477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)))
52271adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
523522, 130bcccl 38855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
524132, 523eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
525524adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
526525adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
527526, 253mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
528112, 113, 520, 527, 159isum1p 14617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = (((𝑆𝑏)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
529473fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
530529, 477oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)))
531 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)) ∈ V)
532518, 530, 480, 531fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝑆𝑏)‘0) = ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)))
53372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
534 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑗 = 0) → 𝑗 = 0)
535534oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑗 = 0) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐0))
536479a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
537 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → (𝐶C𝑐0) ∈ V)
538533, 535, 536, 537fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐶C𝑐0))
539538ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘0) = (𝐶C𝑐0))
540539, 484eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘0) = 1)
541540, 487oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)) = (1 · 1))
542241mulid1d 10095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 · 1) = 1)
543532, 541, 5423eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝑆𝑏)‘0) = 1)
544490sumeq1i 14472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))
545133adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
546244, 545sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
547546adantllr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
548547sumeq2dv 14477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
549544, 548syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
550543, 549oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝑆𝑏)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) = (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘))))
551521, 528, 5503eqtrrd 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))
552551oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 · (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
553514, 552eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
554238, 160mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) ∈ ℂ)
555241, 251addcld 10097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 + 𝑏) ∈ ℂ)
556 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑏)‘𝑘) = ((𝐸𝑏)‘𝑘))
557242, 243, 556, 421, 392isumcl 14536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
558241, 251subnegd 10437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 − -𝑏) = (1 + 𝑏))
559251negcld 10417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → -𝑏 ∈ ℂ)
560 elpreima 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (abs Fn ℂ → (𝑏 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅))))
56186, 87, 560mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑏 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅)))
562561simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑏 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) → (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅))
563562, 2eleq2s 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏𝐷 → (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅))
564 elico2 12275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑏) ∧ (abs‘𝑏) < 𝑅)))
56575, 81, 564mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑏) ∧ (abs‘𝑏) < 𝑅))
566565simp3bi 1098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅) → (abs‘𝑏) < 𝑅)
567563, 566syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏𝐷 → (abs‘𝑏) < 𝑅)
568567adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (abs‘𝑏) < 𝑅)
569251absnegd 14232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (abs‘-𝑏) = (abs‘𝑏))
570569eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (abs‘𝑏) = (abs‘-𝑏))
57173adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑅 = 1)
572568, 570, 5713brtr3d 4716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (abs‘-𝑏) < 1)
573 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ ℝ
574 abssubne0 14100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-𝑏 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (abs‘-𝑏) < 1) → (1 − -𝑏) ≠ 0)
575573, 574mp3an2 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-𝑏 ∈ ℂ ∧ (abs‘-𝑏) < 1) → (1 − -𝑏) ≠ 0)
576559, 572, 575syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 − -𝑏) ≠ 0)
577558, 576eqnetrrd 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 + 𝑏) ≠ 0)
578554, 555, 557, 577divmuld 10861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) / (1 + 𝑏)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘) ↔ ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))))
579553, 578mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) / (1 + 𝑏)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘))
580238, 160, 555, 577div23d 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) / (1 + 𝑏)) = ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
581579, 580eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘) = ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
582581mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))))
583 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 / (1 + 𝑏)) ∈ V)
584 sumex 14462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ V
585584a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ V)
586 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) = (𝑏𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))))
5871a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
588103, 23, 183, 583, 585, 586, 587offval2f 6951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 · 𝑃) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))))
589582, 205, 5883eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D 𝑃) = ((𝑏𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 · 𝑃))
590589oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((ℂ D 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (((𝑏𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 · 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
591224oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 · 𝑃) = ((𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) ∘𝑓 · 𝑃))
592590, 591oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((ℂ D 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 + ((ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 · 𝑃)) = ((((𝑏𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 · 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 + ((𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) ∘𝑓 · 𝑃)))
593 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) ∈ V)
594 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) ∈ V)
595 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) ∈ V)
596 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) ∈ V)
597 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))
598103, 23, 183, 595, 596, 588, 597offval2f 6951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((𝑏𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 · 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏𝐷 ↦ (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
599 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ V)
600 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
601103, 23, 183, 599, 585, 600, 587offval2f 6951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) ∘𝑓 · 𝑃) = (𝑏𝐷 ↦ ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))))
602103, 23, 183, 593, 594, 598, 601offval2f 6951 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((((𝑏𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 · 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 + ((𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) ∘𝑓 · 𝑃)) = (𝑏𝐷 ↦ ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))))
603237, 592, 6023eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))))
604238, 555, 577divcld 10839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 / (1 + 𝑏)) ∈ ℂ)
605238negcld 10417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ)
606555, 605cxpcld 24499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ)
607604, 160, 606mul32d 10284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
608238, 555, 606, 577div32d 10862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝐶 · (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏))))
609555, 577, 605, 241cxpsubd 24509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)) = (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / ((1 + 𝑏)↑𝑐1)))
610555cxp1d 24497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐1) = (1 + 𝑏))
611610oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / ((1 + 𝑏)↑𝑐1)) = (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏)))
612609, 611eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
613612oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 · (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏))) = (𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
614608, 613eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
615614oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) = ((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
616607, 615eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = ((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
617605, 241subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (-𝐶 − 1) ∈ ℂ)
618555, 617cxpcld 24499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)) ∈ ℂ)
619238, 618mulneg1d 10521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) = -(𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
620619oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) = (-(𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
621238, 618mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ ℂ)
622621, 160mulneg1d 10521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (-(𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) = -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
623620, 622eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) = -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
624616, 623oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))) = (((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) + -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))))
625621, 160mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) ∈ ℂ)
626625negidd 10420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) + -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))) = 0)
627624, 626eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))) = 0)
628627mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))) = (𝑏𝐷 ↦ 0))
629603, 628eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (𝑏𝐷 ↦ 0))
630 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥0
631 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑏 → 0 = 0)
63224, 23, 4, 630, 631cbvmptf 4781 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐷 ↦ 0) = (𝑏𝐷 ↦ 0)
633629, 632syl6eqr 2703 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (𝑥𝐷 ↦ 0))
634 c0ex 10072 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
635634snid 4241 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ {0}
636635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → 0 ∈ {0})
637633, 636fmpt3d 6426 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))):𝐷⟶{0})
638 fdm 6089 . . . . . . . . . . 11 ((ℂ D (𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))):𝐷⟶{0} → dom (ℂ D (𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = 𝐷)
639637, 638syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → dom (ℂ D (𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = 𝐷)
640 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
641 0cnd 10071 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
642 dvconst 23725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {1})) = (ℂ × {0}))
643196, 642ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℂ D (ℂ × {1})) = (ℂ × {0})
644 fconstmpt 5197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℂ × {1}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
645644oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℂ D (ℂ × {1})) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
646 fconstmpt 5197 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℂ × {0}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
647643, 645, 6463eqtr3i 2681 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
648647a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
649118a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐷 ⊆ ℂ)
650 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (TopOpen‘ℂfld) ∈ V
651 cnfldtps 22628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 fld ∈ TopSp
652 cnfldbas 19798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℂ = (Base‘ℂfld)
653 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
654652, 653tpsuni 20788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℂfld ∈ TopSp → ℂ = (TopOpen‘ℂfld))
655651, 654ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
656655restid 16141 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ V → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
657650, 656ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
658657eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
659653cnfldtop 22634 . . . . . . . . . . . . . . 15 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
660 cnxmet 22623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
661653cnfldtopn 22632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
662661blopn 22352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
663660, 400, 81, 662mp3an 1464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
66498, 663eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
665 isopn3i 20934 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷)
666659, 664, 665mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷
667666a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷)
668203, 640, 641, 648, 649, 658, 653, 667dvmptres2 23770 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ 1)) = (𝑥𝐷 ↦ 0))
669192oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ 1)) = (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ 1))
670668, 669, 6323eqtr3g 2708 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ 1)) = (𝑏𝐷 ↦ 0))
671628, 603, 6703eqtr4d 2695 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ 1)))
672 1rp 11874 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ+
67373, 672syl6eqel 2738 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℝ+)
674 blcntr 22265 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 0 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
675660, 400, 674mp3an12 1454 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
676673, 675syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
677676, 98syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ 𝐷)
678 0zd 11427 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
679 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = ((𝑆‘0)‘𝑘))
680 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑏𝜑
68123nfel2 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑏0 ∈ 𝐷
682680, 681nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑏(𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷)
683 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑏 𝑘 ∈ ℕ0
684682, 683nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑏((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
68510, 4nffv 6236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑏(𝑆‘0)
686685, 29nffv 6236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑏((𝑆‘0)‘𝑘)
687686nfel1 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑏((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ
688684, 687nfim 1865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑏(((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
689 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 0 → (𝑏𝐷 ↔ 0 ∈ 𝐷))
690689anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 0 → ((𝜑𝑏𝐷) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷)))
691690anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 0 → (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)))
692 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 0 → (𝑆𝑏) = (𝑆‘0))
693692fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 0 → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝑆‘0)‘𝑘))
694693eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 0 → (((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ ↔ ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ))
695691, 694imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 0 → ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ (((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)))
696688, 634, 695, 143vtoclf 3289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
697677, 696syldanl 735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
6984, 7, 685nfseq 12851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑏seq0( + , (𝑆‘0))
699698nfel1 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑏seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝
700682, 699nfim 1865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑏((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ )
701692seqeq3d 12849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 0 → seq0( + , (𝑆𝑏)) = seq0( + , (𝑆‘0)))
702701eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 0 → (seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ ))
703690, 702imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 0 → (((𝜑𝑏𝐷) → seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ ) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ )))
704700, 634, 703, 158vtoclf 3289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ )
705677, 704syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ )
706112, 678, 679, 697, 705isum1p 14617 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) = (((𝑆‘0)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘)))
707132adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
708707adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
709 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 0)
710709oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏𝑘) = (0↑𝑘))
711708, 710oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)))
712711mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))))
713121mptex 6527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))) ∈ V
714713a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))) ∈ V)
715515, 712, 99, 714fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑆‘0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))))
716 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
717716oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑐0))
718716oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → (0↑𝑘) = (0↑0))
719717, 718oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐0) · (0↑0)))
720479a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
721 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐0) · (0↑0)) ∈ V)
722715, 719, 720, 721fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘0) = ((𝐶C𝑐0) · (0↑0)))
72371adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
724723bccn0 38859 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐0) = 1)
72599exp0d 13042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (0↑0) = 1)
726724, 725oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐0) · (0↑0)) = (1 · 1))
727 1t1e1 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 · 1) = 1
728727a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 · 1) = 1)
729722, 726, 7283eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘0) = 1)
730 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) ∈ V)
731715, 730fvmpt2d 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)))
732244, 731sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)))
733 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7347330expd 13064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0↑𝑘) = 0)
735734oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · 0))
736523adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
737244, 736sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
738737mul01d 10273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐𝑘) · 0) = 0)
739732, 735, 7383eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = 0)
740739sumeq2dv 14477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑆‘0)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ 0)
741446sumeq1i 14472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑆‘0)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘)
742242eqimssi 3692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℕ ⊆ (ℤ‘1)
743742orci 404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℕ ⊆ (ℤ‘1) ∨ ℕ ∈ Fin)
744 sumz 14497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℕ ⊆ (ℤ‘1) ∨ ℕ ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ ℕ 0 = 0)
745743, 744ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ𝑘 ∈ ℕ 0 = 0
746740, 741, 7453eqtr3g 2708 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘) = 0)
747729, 746oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((𝑆‘0)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘)) = (1 + 0))
748706, 747eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) = (1 + 0))
749 1p0e1 11171 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 0) = 1
750749oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 + 0)↑𝑐-𝐶) = (1↑𝑐-𝐶)
751723negcld 10417 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → -𝐶 ∈ ℂ)
7527511cxpd 24498 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1↑𝑐-𝐶) = 1)
753750, 752syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + 0)↑𝑐-𝐶) = 1)
754748, 753oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 + 0)↑𝑐-𝐶)) = ((1 + 0) · 1))
755749oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + 0) · 1) = (1 · 1)
756755, 727eqtri 2673 . . . . . . . . . . . 12 ((1 + 0) · 1) = 1
757754, 756syl6eq 2701 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 + 0)↑𝑐-𝐶)) = 1)
758 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃:𝐷⟶ℂ → 𝑃 Fn 𝐷)
759162, 758syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 Fn 𝐷)
760 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶ℂ → (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) Fn 𝐷)
761175, 760syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) Fn 𝐷)
76237a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → 𝑃 = (𝑥𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘)))
763 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 = 0)
764763fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑥) = (𝑆‘0))
765764fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑥)‘𝑘) = ((𝑆‘0)‘𝑘))
766765sumeq2dv 14477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘))
767 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → 0 ∈ 𝐷)
768 sumex 14462 . . . . . . . . . . . . . . 15 Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ V
769768a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ V)
770762, 766, 767, 769fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → (𝑃‘0) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘))
771174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑥𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶)))
772 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
773772oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → (1 + 𝑥) = (1 + 0))
774773oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) = ((1 + 0)↑𝑐-𝐶))
775 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → ((1 + 0)↑𝑐-𝐶) ∈ V)
776771, 774, 767, 775fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → ((𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))‘0) = ((1 + 0)↑𝑐-𝐶))
777759, 761, 183, 183, 184, 770, 776ofval 6948 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → ((𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))‘0) = (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 + 0)↑𝑐-𝐶)))
778677, 777mpdan 703 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))‘0) = (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 + 0)↑𝑐-𝐶)))
779193fveq1i 6230 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 × {1})‘0) = ((𝑏𝐷 ↦ 1)‘0)
780186fvconst2 6510 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ 𝐷 → ((𝐷 × {1})‘0) = 1)
781677, 780syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐷 × {1})‘0) = 1)
782779, 781syl5eqr 2699 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏𝐷 ↦ 1)‘0) = 1)
783757, 778, 7823eqtr4d 2695 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))‘0) = ((𝑏𝐷 ↦ 1)‘0))
78498, 99, 100, 185, 201, 639, 671, 677, 783dv11cn 23809 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏𝐷 ↦ 1))
785784oveq1d 6705 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 / (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = ((𝑏𝐷 ↦ 1) ∘𝑓 / (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
786 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏(1 + 𝑥) ≠ 0
787105, 786nfim 1865 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏(((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → (1 + 𝑥) ≠ 0)
788172neeq1d 2882 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏) ≠ 0 ↔ (1 + 𝑥) ≠ 0))
789109, 788imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑥 → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 + 𝑏) ≠ 0) ↔ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → (1 + 𝑥) ≠ 0)))
790787, 789, 577chvar 2298 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → (1 + 𝑥) ≠ 0)
791166, 790, 168cxpne0d 24504 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ≠ 0)
792 eldifsn 4350 . . . . . . . . . . 11 (((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ ∧ ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ≠ 0))
793169, 791, 792sylanbrc 699 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}))
794793, 174fmptd 6425 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶(ℂ ∖ {0}))
795 ofdivcan4 38843 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑃:𝐷⟶ℂ ∧ (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶(ℂ ∖ {0})) → ((𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 / (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝑃)
796183, 162, 794, 795syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 / (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝑃)
797 eqidd 2652 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ 1) = (𝑏𝐷 ↦ 1))
798103, 23, 183, 241, 606, 797, 597offval2f 6951 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏𝐷 ↦ 1) ∘𝑓 / (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
799785, 796, 7983eqtr3d 2693 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑏𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
800555, 577, 605cxpnegd 24506 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐--𝐶) = (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))
801238negnegd 10421 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → --𝐶 = 𝐶)
802801oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐--𝐶) = ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶))
803800, 802eqtr3d 2687 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶))
804803mpteq2dva 4777 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)))
805799, 804eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)))
806 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑥((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)
807 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑏((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶)
808172oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶) = ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶))
80923, 24, 806, 807, 808cbvmptf 4781 . . . . . 6 (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)) = (𝑥𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶))
810805, 809syl6eq 2701 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑥𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶)))
811 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → 𝑥 = (𝐵 / 𝐴))
812811oveq2d 6706 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → (1 + 𝑥) = (1 + (𝐵 / 𝐴)))
813812oveq1d 6705 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶) = ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶))
814 1cnd 10094 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
815814, 60addcld 10097 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 + (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
816815, 723cxpcld 24499 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
817810, 813, 91, 816fvmptd 6327 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃‘(𝐵 / 𝐴)) = ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶))
818707adantlr 751 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
819 simplr 807 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = (𝐵 / 𝐴))
820819oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏𝑘) = ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))
821818, 820oveq12d 6708 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))
822821mpteq2dva 4777 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))))
823121mptex 6527 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))) ∈ V
824823a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))) ∈ V)
825515, 822, 60, 824fvmptd 6327 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑆‘(𝐵 / 𝐴)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))))
826 ovexd 6720 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) ∈ V)
827825, 826fvmpt2d 6332 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))
828827sumeq2dv 14477 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))
82994, 817, 8283eqtr3d 2693 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))
830829oveq1d 6705 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) · (𝐴𝑐𝐶)) = (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)))
83143, 46rerpdivcld 11941 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
832831adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
83366, 832readdcld 10107 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 + (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
834 df-neg 10307 . . . . . . 7 -(𝐵 / 𝐴) = (0 − (𝐵 / 𝐴))
835831recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
836835negcld 10417 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
837836abscld 14219 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
838 1red 10093 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
839835absnegd 14232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) = (abs‘(𝐵 / 𝐴)))
84046rpne0d 11915 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ≠ 0)
84144, 47, 840absdivd 14238 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)))
842839, 841eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)))
84344abscld 14219 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
844672a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
84547, 840absrpcld 14231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
846843recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℂ)
847846div1d 10831 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((abs‘𝐵) / 1) = (abs‘𝐵))
848847, 53eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((abs‘𝐵) / 1) < (abs‘𝐴))
849843, 844, 845, 848ltdiv23d 11975 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)) < 1)
850842, 849eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) < 1)
851837, 838, 850ltled 10223 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) ≤ 1)
852831renegcld 10495 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
853852, 838absled 14213 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘-(𝐵 / 𝐴)) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ -(𝐵 / 𝐴) ∧ -(𝐵 / 𝐴) ≤ 1)))
854851, 853mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-1 ≤ -(𝐵 / 𝐴) ∧ -(𝐵 / 𝐴) ≤ 1))
855854simprd 478 . . . . . . 7 (𝜑 → -(𝐵 / 𝐴) ≤ 1)
856834, 855syl5eqbrr 4721 . . . . . 6 (𝜑 → (0 − (𝐵 / 𝐴)) ≤ 1)
857 0red 10079 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
858857, 831, 838lesubaddd 10662 . . . . . 6 (𝜑 → ((0 − (𝐵 / 𝐴)) ≤ 1 ↔ 0 ≤ (1 + (𝐵 / 𝐴))))
859856, 858mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (1 + (𝐵 / 𝐴)))
860859adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (1 + (𝐵 / 𝐴)))
86146adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ+)
862861rpred 11910 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
863861rpge0d 11914 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
864833, 860, 862, 863, 723mulcxpd 24519 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐵 / 𝐴)) · 𝐴)↑𝑐𝐶) = (((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) · (𝐴𝑐𝐶)))
865814, 60, 48adddird 10103 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐵 / 𝐴)) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝐴)))
86648mulid2d 10096 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
86745, 48, 59divcan1d 10840 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / 𝐴) · 𝐴) = 𝐵)
868866, 867oveq12d 6708 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 · 𝐴) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐵))
869865, 868eqtrd 2685 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐵 / 𝐴)) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
870869oveq1d 6705 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐵 / 𝐴)) · 𝐴)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))
871864, 870eqtr3d 2687 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) · (𝐴𝑐𝐶)) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))
87260adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
873 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
874872, 873expcld 13048 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
875736, 874mulcld 10098 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) ∈ ℂ)
87646, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 155, 2binomcxplemcvg 38870 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ ))
877876simpld 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ )
87891, 877syldan 486 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (𝑆‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ )
87948, 723cxpcld 24499 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℂ)
880112, 678, 827, 875, 878, 879isummulc1 14538 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)))
88144ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
88247ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
883840ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 0)
884881, 882, 883divrecd 10842 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) = (𝐵 · (1 / 𝐴)))
885884oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘) = ((𝐵 · (1 / 𝐴))↑𝑘))
886882, 883reccld 10832 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
887881, 886, 873mulexpd 13063 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵 · (1 / 𝐴))↑𝑘) = ((𝐵𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))
888885, 887eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘) = ((𝐵𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))
889888oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))))
890881, 873expcld 13048 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
891886, 873expcld 13048 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
892736, 890, 891mulassd 10101 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))))
893889, 892eqtr4d 2688 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))
894893oveq1d 6705 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) = ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)))
895736, 890mulcld 10098 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
896879adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℂ)
897895, 891, 896mul32d 10284 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) = ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))
898895, 896, 891mulassd 10101 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · ((𝐴𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))))
899894, 897, 8983eqtrd 2689 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · ((𝐴𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))))
900873nn0cnd 11391 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
901882, 900cxpcld 24499 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐𝑘) ∈ ℂ)
902882, 883, 900cxpne0d 24504 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐𝑘) ≠ 0)
903896, 901, 902divrecd 10842 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐𝐶) / (𝐴𝑐𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐶) · (1 / (𝐴𝑐𝑘))))
90471ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
905882, 883, 904, 900cxpsubd 24509 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐(𝐶𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐶) / (𝐴𝑐𝑘)))
906873nn0zd 11518 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
907882, 883, 906exprecd 13056 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) = (1 / (𝐴𝑘)))
908 cxpexp 24459 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐𝑘) = (𝐴𝑘))
909882, 873, 908syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐𝑘) = (𝐴𝑘))
910909oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (𝐴𝑐𝑘)) = (1 / (𝐴𝑘)))
911907, 910eqtr4d 2688 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) = (1 / (𝐴𝑐𝑘)))
912911oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐶) · (1 / (𝐴𝑐𝑘))))
913903, 905, 9123eqtr4rd 2696 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = (𝐴𝑐(𝐶𝑘)))
914913oveq2d 6706 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · ((𝐴𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · (𝐴𝑐(𝐶𝑘))))
915904, 900subcld 10430 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
916882, 915cxpcld 24499 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐(𝐶𝑘)) ∈ ℂ)
917736, 890, 916mul32d 10284 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · (𝐴𝑐(𝐶𝑘))) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐴𝑐(𝐶𝑘))) · (𝐵𝑘)))
918899, 914, 9173eqtrd 2689 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐴𝑐(𝐶𝑘))) · (𝐵𝑘)))
919736, 916, 890mulassd 10101 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐴𝑐(𝐶𝑘))) · (𝐵𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
920918, 919eqtrd 2685 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
921920sumeq2dv 14477 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
922880, 921eqtrd 2685 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
923830, 871, 9223eqtr3d 2693 1 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  {crab 2945  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ⊆ wss 3607  {csn 4210  {cpr 4212  ∪ cuni 4468   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141  ◡ccnv 5142  dom cdm 5143   “ cima 5146   ∘ ccom 5147  Rel wrel 5148   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘𝑓 cof 6937  Fincfn 7997  supcsup 8387  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  ℕcn 11058  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ℝ+crp 11870  [,)cico 12215  seqcseq 12841  ↑cexp 12900   shift cshi 13850  abscabs 14018   ⇝ cli 14259  Σcsu 14460   ↾t crest 16128  TopOpenctopn 16129  ∞Metcxmt 19779  ballcbl 19781  ℂfldccnfld 19794  Topctop 20746  TopSpctps 20784  intcnt 20869   D cdv 23672  ↑𝑐ccxp 24347  C𝑐cbcc 38852 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-prod 14680  df-risefac 14781  df-fallfac 14782  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-tan 14846  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-ulm 24176  df-log 24348  df-cxp 24349  df-bcc 38853 This theorem is referenced by:  binomcxp  38873
 Copyright terms: Public domain W3C validator