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Theorem binomcxplemnn0 38865
Description: Lemma for binomcxp 38873. When 𝐶 is a nonnegative integer, the binomial's finite sum value by the standard binomial theorem binom 14606 equals this generalized infinite sum: the generalized binomial coefficient and exponentiation operators give exactly the same values in the standard index set (0...𝐶), and when the index set is widened beyond 𝐶 the additional values are just zeroes. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
binomcxplemnn0 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘

Proof of Theorem binomcxplemnn0
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxp.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
21rpcnd 11912 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 binomcxp.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43recnd 10106 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5 binom 14606 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
653expia 1286 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
72, 4, 6syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
87imp 444 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
92adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
104adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
119, 10addcld 10097 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
12 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
13 cxpexp 24459 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶))
1411, 12, 13syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶))
15 elfznn0 12471 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝐶) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16 simplr 807 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
17 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1816, 17bccbc 38861 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑘))
1915, 18sylan2 490 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑘))
202ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
21 elfzle2 12383 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...𝐶) → 𝑘𝐶)
2221adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → 𝑘𝐶)
23 nn0sub 11381 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘𝐶 ↔ (𝐶𝑘) ∈ ℕ0))
2423ancoms 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘𝐶 ↔ (𝐶𝑘) ∈ ℕ0))
2524adantll 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘𝐶 ↔ (𝐶𝑘) ∈ ℕ0))
2615, 25sylan2 490 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝑘𝐶 ↔ (𝐶𝑘) ∈ ℕ0))
2722, 26mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐶𝑘) ∈ ℕ0)
28 cxpexp 24459 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐(𝐶𝑘)) = (𝐴↑(𝐶𝑘)))
2920, 27, 28syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐴𝑐(𝐶𝑘)) = (𝐴↑(𝐶𝑘)))
3029oveq1d 6705 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)) = ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))
3119, 30oveq12d 6708 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = ((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
3231sumeq2dv 14477 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
338, 14, 323eqtr4d 2695 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
34 binomcxp.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3534adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
3611, 35cxpcld 24499 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
3733, 36eqeltrrd 2731 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
3837addid1d 10274 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
39 nn0uz 11760 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
40 eqid 2651 . . . 4 (ℤ‘(𝐶 + 1)) = (ℤ‘(𝐶 + 1))
41 1nn0 11346 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
4241a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
4312, 42nn0addcld 11393 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
44 eqidd 2652 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗)))) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗)))))
45 simpr 476 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
4645oveq2d 6706 . . . . . 6 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
4745oveq2d 6706 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶𝑗) = (𝐶𝑘))
4847oveq2d 6706 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐴𝑐(𝐶𝑗)) = (𝐴𝑐(𝐶𝑘)))
4945oveq2d 6706 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑘))
5048, 49oveq12d 6708 . . . . . 6 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗)) = ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))
5146, 50oveq12d 6708 . . . . 5 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
5234ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
5352, 17bcccl 38855 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
542ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5517nn0cnd 11391 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
5652, 55subcld 10430 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
5754, 56cxpcld 24499 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐(𝐶𝑘)) ∈ ℂ)
584ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
5958, 17expcld 13048 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
6057, 59mulcld 10098 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
6153, 60mulcld 10098 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
6244, 51, 17, 61fvmptd 6327 . . . 4 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
63 peano2nn0 11371 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
6463adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
65 c0ex 10072 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
6665fconst 6129 . . . . . . . 8 (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶{0}
6766a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶{0})
68 0red 10079 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
6968snssd 4372 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → {0} ⊆ ℝ)
7067, 69fssd 6095 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶ℝ)
7170ffvelrnda 6399 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℝ)
7262, 61eqeltrd 2730 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘) ∈ ℂ)
73 climrel 14267 . . . . . . 7 Rel ⇝
7439xpeq1i 5169 . . . . . . . . 9 (ℕ0 × {0}) = ((ℤ‘0) × {0})
75 seqeq3 12846 . . . . . . . . 9 ((ℕ0 × {0}) = ((ℤ‘0) × {0}) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) = seq0( + , ((ℤ‘0) × {0})))
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq0( + , (ℕ0 × {0})) = seq0( + , ((ℤ‘0) × {0}))
77 0z 11426 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
78 serclim0 14352 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → seq0( + , ((ℤ‘0) × {0})) ⇝ 0)
7977, 78ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq0( + , ((ℤ‘0) × {0})) ⇝ 0
8076, 79eqbrtri 4706 . . . . . . 7 seq0( + , (ℕ0 × {0})) ⇝ 0
81 releldm 5390 . . . . . . 7 ((Rel ⇝ ∧ seq0( + , (ℕ0 × {0})) ⇝ 0) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝ )
8273, 80, 81mp2an 708 . . . . . 6 seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝
8382a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝ )
84 eluznn0 11795 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8564, 84sylan 487 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8685, 62syldan 486 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
87 0zd 11427 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 0 ∈ ℤ)
8885nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
89 1zzd 11446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 1 ∈ ℤ)
9088, 89zsubcld 11525 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
9112nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℤ)
9291adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℤ)
9312nn0ge0d 11392 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐶)
9493adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 0 ≤ 𝐶)
95 eluzle 11738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1)) → (𝐶 + 1) ≤ 𝑘)
9695adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (𝐶 + 1) ≤ 𝑘)
9792zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
98 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
9985nn0red 11390 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
100 leaddsub 10542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 1) ≤ 𝑘𝐶 ≤ (𝑘 − 1)))
10197, 98, 99, 100syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶 + 1) ≤ 𝑘𝐶 ≤ (𝑘 − 1)))
10296, 101mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ≤ (𝑘 − 1))
103 elfz4 12373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((0 ∈ ℤ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐶𝐶 ≤ (𝑘 − 1))) → 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)))
10487, 90, 92, 94, 102, 103syl32anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)))
10534ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
106105, 85bcc0 38856 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1))))
107104, 106mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (𝐶C𝑐𝑘) = 0)
108107oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (0 · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
1092ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
110 eluzelcn 11737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
111110adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
112105, 111subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
113109, 112cxpcld 24499 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (𝐴𝑐(𝐶𝑘)) ∈ ℂ)
1144ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
115114, 85expcld 13048 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
116113, 115mulcld 10098 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
117116mul02d 10272 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (0 · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
118108, 117eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
11986, 118eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘) = 0)
120119abs00bd 14075 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) = 0)
121 0re 10078 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
122120, 121syl6eqel 2738 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) ∈ ℝ)
123 eqle 10177 . . . . . . 7 (((abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) = 0) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) ≤ 0)
124122, 120, 123syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) ≤ 0)
12571recnd 10106 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
12685, 125syldan 486 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
127126mul02d 10272 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (0 · ((ℕ0 × {0})‘𝑘)) = 0)
128124, 127breqtrrd 4713 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) ≤ (0 · ((ℕ0 × {0})‘𝑘)))
12939, 64, 71, 72, 83, 68, 128cvgcmpce 14594 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))) ∈ dom ⇝ )
13039, 40, 43, 62, 61, 129isumsplit 14616 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
131 1cnd 10094 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
13235, 131pncand 10431 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) − 1) = 𝐶)
133132oveq2d 6706 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (0...((𝐶 + 1) − 1)) = (0...𝐶))
134133sumeq1d 14475 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
135134oveq1d 6705 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
136118sumeq2dv 14477 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))0)
137 ssid 3657 . . . . . . 7 (ℤ‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ‘(𝐶 + 1))
138137orci 404 . . . . . 6 ((ℤ‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ‘(𝐶 + 1)) ∨ (ℤ‘(𝐶 + 1)) ∈ Fin)
139 sumz 14497 . . . . . 6 (((ℤ‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ‘(𝐶 + 1)) ∨ (ℤ‘(𝐶 + 1)) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))0 = 0)
140138, 139ax-mp 5 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))0 = 0
141136, 140syl6eq 2701 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
142141oveq2d 6706 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + 0))
143130, 135, 1423eqtrd 2689 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + 0))
14438, 143, 333eqtr4rd 2696 1 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  dom cdm 5143  Rel wrel 5148  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  ...cfz 12364  seqcseq 12841  cexp 12900  Ccbc 13129  abscabs 14018  cli 14259  Σcsu 14460  𝑐ccxp 24347  C𝑐cbcc 38852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-prod 14680  df-fallfac 14782  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349  df-bcc 38853
This theorem is referenced by:  binomcxp  38873
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