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Theorem binomcxplemfrat 39069
Description: Lemma for binomcxp 39075. binomcxplemrat 39068 implies that when 𝐶 is not a nonnegative integer, the absolute value of the ratio ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) converges to one. The rest of equation "Since continuity of the absolute value..." in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
Assertion
Ref Expression
binomcxplemfrat ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)))) ⇝ 1)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝜑   𝐶,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗,𝑘)   𝐵(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem binomcxplemfrat
StepHypRef Expression
1 binomcxp.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
21adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
3 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
42, 3bccp1k 39059 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐(𝑘 + 1)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))
5 binomcxplem.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
65a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
7 simpr 471 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝑗 = (𝑘 + 1))
87oveq2d 6808 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 1)) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐(𝑘 + 1)))
9 1nn0 11509 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
113, 10nn0addcld 11556 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
12 ovexd 6824 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐(𝑘 + 1)) ∈ V)
136, 8, 11, 12fvmptd 6430 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐶C𝑐(𝑘 + 1)))
14 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
1514oveq2d 6808 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
16 ovexd 6824 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ V)
176, 15, 3, 16fvmptd 6430 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
1817oveq1d 6807 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))
194, 13, 183eqtr4d 2814 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐹𝑘) · ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))
2019adantlr 686 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐹𝑘) · ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))
2120eqcomd 2776 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
222, 3bcccl 39057 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
2317, 22eqeltrd 2849 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2423adantlr 686 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
252adantlr 686 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
26 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2726nn0cnd 11554 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
2825, 27subcld 10593 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
29 1cnd 10257 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
3027, 29addcld 10260 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
31 nn0p1nn 11533 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3231nnne0d 11266 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ≠ 0)
3332adantl 467 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
3428, 30, 33divcld 11002 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3524, 34mulcld 10261 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
3620, 35eqeltrd 2849 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3717adantlr 686 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
38 elfznn0 12639 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
3938con3i 151 . . . . . . . . 9 𝐶 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)))
4039ad2antlr 698 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)))
4125, 26bcc0 39058 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1))))
4241necon3abid 2978 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1))))
4340, 42mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ≠ 0)
4437, 43eqnetrd 3009 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
4536, 24, 34, 44divmuld 11024 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) = ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)) ↔ ((𝐹𝑘) · ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))) = (𝐹‘(𝑘 + 1))))
4621, 45mpbird 247 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) = ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))
4746fveq2d 6336 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) = (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))
4847mpteq2dva 4876 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))))
49 binomcxp.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
50 binomcxp.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
51 binomcxp.lt . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
5249, 50, 51, 1binomcxplemrat 39068 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ 1)
5352adantr 466 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ 1)
5448, 53eqbrtrd 4806 1 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)))) ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  Vcvv 3349   class class class wbr 4784  cmpt 4861  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142   < clt 10275  cmin 10467   / cdiv 10885  0cn0 11493  +crp 12034  ...cfz 12532  abscabs 14181  cli 14422  C𝑐cbcc 39054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-prod 14842  df-fallfac 14943  df-bcc 39055
This theorem is referenced by:  binomcxplemradcnv  39070
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