Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemdvbinom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemdvbinom 39050
Description: Lemma for binomcxp 39054. By the power and chain rules, calculate the derivative of ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶), with respect to 𝑏 in the disk of convergence 𝐷. We later multiply the derivative in the later binomcxplemdvsum 39052 by this derivative to show that ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶) (with a non-negated 𝐶) and the later sum, since both at 𝑏 = 0 equal one, are the same. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
binomcxplem.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
binomcxplem.d 𝐷 = (abs “ (0[,)𝑅))
Assertion
Ref Expression
binomcxplemdvbinom ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝜑   𝑘,𝑏,𝐶   𝐶,𝑗   𝐹,𝑏,𝑘   𝑆,𝑟   𝑟,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑏)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐶(𝑟)   𝐷(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑏)   𝐸(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑟)

Proof of Theorem binomcxplemdvbinom
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.d . . . . 5 𝐷 = (abs “ (0[,)𝑅))
2 nfcv 2898 . . . . . 6 𝑏abs
3 nfcv 2898 . . . . . . 7 𝑏0
4 nfcv 2898 . . . . . . 7 𝑏[,)
5 binomcxplem.r . . . . . . . 8 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
6 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . 12 𝑏 +
7 binomcxplem.s . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
8 nfmpt1 4895 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
97, 8nfcxfr 2896 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏𝑆
10 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏𝑟
119, 10nffv 6355 . . . . . . . . . . . 12 𝑏(𝑆𝑟)
123, 6, 11nfseq 13001 . . . . . . . . . . 11 𝑏seq0( + , (𝑆𝑟))
1312nfel1 2913 . . . . . . . . . 10 𝑏seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝
14 nfcv 2898 . . . . . . . . . 10 𝑏
1513, 14nfrab 3258 . . . . . . . . 9 𝑏{𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }
16 nfcv 2898 . . . . . . . . 9 𝑏*
17 nfcv 2898 . . . . . . . . 9 𝑏 <
1815, 16, 17nfsup 8518 . . . . . . . 8 𝑏sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
195, 18nfcxfr 2896 . . . . . . 7 𝑏𝑅
203, 4, 19nfov 6835 . . . . . 6 𝑏(0[,)𝑅)
212, 20nfima 5628 . . . . 5 𝑏(abs “ (0[,)𝑅))
221, 21nfcxfr 2896 . . . 4 𝑏𝐷
23 nfcv 2898 . . . 4 𝑦𝐷
24 nfcv 2898 . . . 4 𝑦((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)
25 nfcv 2898 . . . 4 𝑏((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶)
26 oveq2 6817 . . . . 5 (𝑏 = 𝑦 → (1 + 𝑏) = (1 + 𝑦))
2726oveq1d 6824 . . . 4 (𝑏 = 𝑦 → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) = ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))
2822, 23, 24, 25, 27cbvmptf 4896 . . 3 (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑦𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))
2928oveq2i 6820 . 2 (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (ℂ D (𝑦𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶)))
30 cnelprrecn 10217 . . . . 5 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
3130a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
32 1cnd 10244 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → 1 ∈ ℂ)
33 cnvimass 5639 . . . . . . . . . 10 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
341, 33eqsstri 3772 . . . . . . . . 9 𝐷 ⊆ dom abs
35 absf 14272 . . . . . . . . . 10 abs:ℂ⟶ℝ
3635fdmi 6209 . . . . . . . . 9 dom abs = ℂ
3734, 36sseqtri 3774 . . . . . . . 8 𝐷 ⊆ ℂ
3837a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐷 ⊆ ℂ)
3938sselda 3740 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ ℂ)
4032, 39addcld 10247 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → (1 + 𝑦) ∈ ℂ)
41 simpr 479 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ)
42 1cnd 10244 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
4339adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
4442, 43pncan2d 10582 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → ((1 + 𝑦) − 1) = 𝑦)
45 1red 10243 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
4641, 45resubcld 10646 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → ((1 + 𝑦) − 1) ∈ ℝ)
4744, 46eqeltrrd 2836 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
48 1pneg1e0 11317 . . . . . . . . 9 (1 + -1) = 0
49 1red 10243 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
5049renegcld 10645 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
51 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
52 ffn 6202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
53 elpreima 6496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (abs Fn ℂ → (𝑦 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅))))
5435, 52, 53mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅)))
5554simprbi 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) → (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅))
5655, 1eleq2s 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝐷 → (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅))
57 0re 10228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
58 ssrab2 3824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
59 ressxr 10271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℝ ⊆ ℝ*
6058, 59sstri 3749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
61 supxrcl 12334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
635, 62eqeltri 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑅 ∈ ℝ*
64 elico2 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) < 𝑅)))
6557, 63, 64mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) < 𝑅))
6656, 65sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐷 → ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) < 𝑅))
6766simp3d 1139 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝐷 → (abs‘𝑦) < 𝑅)
6867adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → (abs‘𝑦) < 𝑅)
69 binomcxp.a . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
70 binomcxp.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
71 binomcxp.lt . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
72 binomcxp.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
73 binomcxplem.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
7469, 70, 71, 72, 73, 7, 5binomcxplemradcnv 39049 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)
7574adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑅 = 1)
7668, 75breqtrd 4826 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → (abs‘𝑦) < 1)
7776adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘𝑦) < 1)
7851, 49absltd 14363 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑦) < 1 ↔ (-1 < 𝑦𝑦 < 1)))
7977, 78mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-1 < 𝑦𝑦 < 1))
8079simpld 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -1 < 𝑦)
8150, 51, 49, 80ltadd2dd 10384 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 + -1) < (1 + 𝑦))
8248, 81syl5eqbrr 4836 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 < (1 + 𝑦))
8347, 82syldan 488 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 0 < (1 + 𝑦))
8441, 83elrpd 12058 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)
8584ex 449 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → ((1 + 𝑦) ∈ ℝ → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+))
86 eqid 2756 . . . . . 6 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
8786ellogdm 24580 . . . . 5 ((1 + 𝑦) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((1 + 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((1 + 𝑦) ∈ ℝ → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)))
8840, 85, 87sylanbrc 701 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → (1 + 𝑦) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
89 eldifi 3871 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
9089adantl 473 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → 𝑥 ∈ ℂ)
9172adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
9291negcld 10567 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → -𝐶 ∈ ℂ)
9392adantr 472 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → -𝐶 ∈ ℂ)
9490, 93cxpcld 24649 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (𝑥𝑐-𝐶) ∈ ℂ)
95 ovexd 6839 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (-𝐶 · (𝑥𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ V)
96 1cnd 10244 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
97 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
9896, 97addcld 10247 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + 𝑥) ∈ ℂ)
99 c0ex 10222 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
10099a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ V)
101 1cnd 10244 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
10231, 101dvmptc 23916 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
10331dvmptid 23915 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
10431, 96, 100, 102, 97, 96, 103dvmptadd 23918 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + 1)))
105 0p1e1 11320 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
106105mpteq2i 4889 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
107104, 106syl6eq 2806 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
108 fvex 6358 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ V
109 cnfldtps 22778 . . . . . . . . . 10 fld ∈ TopSp
110 cnfldbas 19948 . . . . . . . . . . 11 ℂ = (Base‘ℂfld)
111 eqid 2756 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
112110, 111tpsuni 20938 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ TopSp → ℂ = (TopOpen‘ℂfld))
113109, 112ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
114113restid 16292 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ V → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
115108, 114ax-mp 5 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
116115eqcomi 2765 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
117111cnfldtop 22784 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
118 eqid 2756 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
119118cnbl0 22774 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
12063, 119ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
1211, 120eqtri 2778 . . . . . . . . 9 𝐷 = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
122 cnxmet 22773 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
123 0cn 10220 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
124111cnfldtopn 22782 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
125124blopn 22502 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
126122, 123, 63, 125mp3an 1569 . . . . . . . . 9 (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
127121, 126eqeltri 2831 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
128 isopn3i 21084 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷)
129117, 127, 128mp2an 710 . . . . . . 7 ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷
130129a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷)
13131, 98, 96, 107, 38, 116, 111, 130dvmptres2 23920 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (1 + 𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ 1))
132 oveq2 6817 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (1 + 𝑥) = (1 + 𝑦))
133132cbvmptv 4898 . . . . . 6 (𝑥𝐷 ↦ (1 + 𝑥)) = (𝑦𝐷 ↦ (1 + 𝑦))
134133oveq2i 6820 . . . . 5 (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (1 + 𝑥))) = (ℂ D (𝑦𝐷 ↦ (1 + 𝑦)))
135 eqidd 2757 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → 1 = 1)
136135cbvmptv 4898 . . . . 5 (𝑥𝐷 ↦ 1) = (𝑦𝐷 ↦ 1)
137131, 134, 1363eqtr3g 2813 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦𝐷 ↦ (1 + 𝑦))) = (𝑦𝐷 ↦ 1))
13886dvcncxp1 24679 . . . . 5 (-𝐶 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥𝑐-𝐶))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (-𝐶 · (𝑥𝑐(-𝐶 − 1)))))
13992, 138syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥𝑐-𝐶))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (-𝐶 · (𝑥𝑐(-𝐶 − 1)))))
140 oveq1 6816 . . . 4 (𝑥 = (1 + 𝑦) → (𝑥𝑐-𝐶) = ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))
141 oveq1 6816 . . . . 5 (𝑥 = (1 + 𝑦) → (𝑥𝑐(-𝐶 − 1)) = ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
142141oveq2d 6825 . . . 4 (𝑥 = (1 + 𝑦) → (-𝐶 · (𝑥𝑐(-𝐶 − 1))) = (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
14331, 31, 88, 32, 94, 95, 137, 139, 140, 142dvmptco 23930 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))) = (𝑦𝐷 ↦ ((-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · 1)))
14491adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
145144negcld 10567 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ)
146145, 32subcld 10580 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → (-𝐶 − 1) ∈ ℂ)
14740, 146cxpcld 24649 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)) ∈ ℂ)
148145, 147mulcld 10248 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ ℂ)
149148mulid1d 10245 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · 1) = (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
150149mpteq2dva 4892 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐷 ↦ ((-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · 1)) = (𝑦𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
151 nfcv 2898 . . . . 5 𝑏(-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
152 nfcv 2898 . . . . 5 𝑦(-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
153 oveq2 6817 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑏 → (1 + 𝑦) = (1 + 𝑏))
154153oveq1d 6824 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑏 → ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
155154oveq2d 6825 . . . . 5 (𝑦 = 𝑏 → (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) = (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
15623, 22, 151, 152, 155cbvmptf 4896 . . . 4 (𝑦𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
157156a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
158143, 150, 1573eqtrd 2794 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
15929, 158syl5eq 2802 1 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1628  wcel 2135  {crab 3050  Vcvv 3336  cdif 3708  wss 3711  {cpr 4319   cuni 4584   class class class wbr 4800  cmpt 4877  ccnv 5261  dom cdm 5262  cima 5265  ccom 5266   Fn wfn 6040  wf 6041  cfv 6045  (class class class)co 6809  supcsup 8507  cc 10122  cr 10123  0cc0 10124  1c1 10125   + caddc 10127   · cmul 10129  -∞cmnf 10260  *cxr 10261   < clt 10262  cle 10263  cmin 10454  -cneg 10455  cn 11208  0cn0 11480  +crp 12021  (,]cioc 12365  [,)cico 12366  seqcseq 12991  cexp 13050  abscabs 14169  cli 14410  t crest 16279  TopOpenctopn 16280  ∞Metcxmt 19929  ballcbl 19931  fldccnfld 19944  Topctop 20896  TopSpctps 20934  intcnt 21019   D cdv 23822  𝑐ccxp 24497  C𝑐cbcc 39033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202  ax-addf 10203  ax-mulf 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-iin 4671  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-se 5222  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-of 7058  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-supp 7460  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-2o 7726  df-oadd 7729  df-er 7907  df-map 8021  df-pm 8022  df-ixp 8071  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-fsupp 8437  df-fi 8478  df-sup 8509  df-inf 8510  df-oi 8576  df-card 8951  df-cda 9178  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-z 11566  df-dec 11682  df-uz 11876  df-q 11978  df-rp 12022  df-xneg 12135  df-xadd 12136  df-xmul 12137  df-ioo 12368  df-ioc 12369  df-ico 12370  df-icc 12371  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-fl 12783  df-mod 12859  df-seq 12992  df-exp 13051  df-fac 13251  df-bc 13280  df-hash 13308  df-shft 14002  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-limsup 14397  df-clim 14414  df-rlim 14415  df-sum 14612  df-prod 14831  df-fallfac 14933  df-ef 14993  df-sin 14995  df-cos 14996  df-tan 14997  df-pi 14998  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-starv 16154  df-sca 16155  df-vsca 16156  df-ip 16157  df-tset 16158  df-ple 16159  df-ds 16162  df-unif 16163  df-hom 16164  df-cco 16165  df-rest 16281  df-topn 16282  df-0g 16300  df-gsum 16301  df-topgen 16302  df-pt 16303  df-prds 16306  df-xrs 16360  df-qtop 16365  df-imas 16366  df-xps 16368  df-mre 16444  df-mrc 16445  df-acs 16447  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-submnd 17533  df-mulg 17738  df-cntz 17946  df-cmn 18391  df-psmet 19936  df-xmet 19937  df-met 19938  df-bl 19939  df-mopn 19940  df-fbas 19941  df-fg 19942  df-cnfld 19945  df-top 20897  df-topon 20914  df-topsp 20935  df-bases 20948  df-cld 21021  df-ntr 21022  df-cls 21023  df-nei 21100  df-lp 21138  df-perf 21139  df-cn 21229  df-cnp 21230  df-haus 21317  df-cmp 21388  df-tx 21563  df-hmeo 21756  df-fil 21847  df-fm 21939  df-flim 21940  df-flf 21941  df-xms 22322  df-ms 22323  df-tms 22324  df-cncf 22878  df-limc 23825  df-dv 23826  df-log 24498  df-cxp 24499  df-bcc 39034
This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  39053
  Copyright terms: Public domain W3C validator