Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemcvg 39079
Description: Lemma for binomcxp 39082. The sum in binomcxplemnn0 39074 and its derivative (see the next theorem, binomcxplemdvsum 39080) converge, as long as their base 𝐽 is within the disk of convergence. Part of remark "This convergence allows us to apply term-by-term differentiation..." in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
binomcxplem.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
binomcxplem.d 𝐷 = (abs “ (0[,)𝑅))
Assertion
Ref Expression
binomcxplemcvg ((𝜑𝐽𝐷) → (seq0( + , (𝑆𝐽)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸𝐽)) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑏,𝜑   𝐹,𝑏,𝑘   𝐽,𝑏,𝑘   𝑟,𝑏,𝐽   𝜑,𝑗   𝑆,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐶(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐷(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑏)   𝐸(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑟)   𝐽(𝑗)

Proof of Theorem binomcxplemcvg
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.s . . 3 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
2 binomcxp.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
32adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
4 simpr 471 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
53, 4bcccl 39064 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑗) ∈ ℂ)
6 binomcxplem.f . . . . 5 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
75, 6fmptd 6527 . . . 4 (𝜑𝐹:ℕ0⟶ℂ)
87adantr 466 . . 3 ((𝜑𝐽𝐷) → 𝐹:ℕ0⟶ℂ)
9 binomcxplem.r . . 3 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
10 binomcxplem.d . . . . . . 7 𝐷 = (abs “ (0[,)𝑅))
1110eleq2i 2842 . . . . . 6 (𝐽𝐷𝐽 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)))
12 absf 14285 . . . . . . 7 abs:ℂ⟶ℝ
13 ffn 6185 . . . . . . 7 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
14 elpreima 6480 . . . . . . 7 (abs Fn ℂ → (𝐽 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝐽 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅))))
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝐽 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅)))
1611, 15bitri 264 . . . . 5 (𝐽𝐷 ↔ (𝐽 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅)))
1716simplbi 485 . . . 4 (𝐽𝐷𝐽 ∈ ℂ)
1817adantl 467 . . 3 ((𝜑𝐽𝐷) → 𝐽 ∈ ℂ)
1916simprbi 484 . . . . 5 (𝐽𝐷 → (abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅))
20 0re 10242 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
21 ssrab2 3836 . . . . . . . . . 10 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
22 ressxr 10285 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
2321, 22sstri 3761 . . . . . . . . 9 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
24 supxrcl 12350 . . . . . . . . 9 ({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . 8 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
269, 25eqeltri 2846 . . . . . . 7 𝑅 ∈ ℝ*
27 elico2 12442 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐽) ∧ (abs‘𝐽) < 𝑅)))
2820, 26, 27mp2an 672 . . . . . 6 ((abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐽) ∧ (abs‘𝐽) < 𝑅))
2928simp3bi 1141 . . . . 5 ((abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅) → (abs‘𝐽) < 𝑅)
3019, 29syl 17 . . . 4 (𝐽𝐷 → (abs‘𝐽) < 𝑅)
3130adantl 467 . . 3 ((𝜑𝐽𝐷) → (abs‘𝐽) < 𝑅)
321, 8, 9, 18, 31radcnvlt2 24393 . 2 ((𝜑𝐽𝐷) → seq0( + , (𝑆𝐽)) ∈ dom ⇝ )
33 binomcxplem.e . . . . . . 7 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
3433a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℂ) → 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))))
35 simplr 752 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐽 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝐽) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 = 𝐽)
3635oveq1d 6808 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐽 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝐽) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝐽↑(𝑘 − 1)))
3736oveq2d 6809 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐽 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝐽) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1))))
3837mpteq2dva 4878 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝐽) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))))
39 simpr 471 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℂ) → 𝐽 ∈ ℂ)
40 nnex 11228 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
4140mptex 6630 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
4241a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
4334, 38, 39, 42fvmptd 6430 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ ℂ) → (𝐸𝐽) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))))
4417, 43sylan2 580 . . . 4 ((𝜑𝐽𝐷) → (𝐸𝐽) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))))
4544seqeq3d 13016 . . 3 ((𝜑𝐽𝐷) → seq1( + , (𝐸𝐽)) = seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1))))))
46 eqid 2771 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1))))
471, 9, 46, 8, 18, 31dvradcnv2 39072 . . 3 ((𝜑𝐽𝐷) → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1))))) ∈ dom ⇝ )
4845, 47eqeltrd 2850 . 2 ((𝜑𝐽𝐷) → seq1( + , (𝐸𝐽)) ∈ dom ⇝ )
4932, 48jca 501 1 ((𝜑𝐽𝐷) → (seq0( + , (𝑆𝐽)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸𝐽)) ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065  Vcvv 3351  wss 3723   class class class wbr 4786  cmpt 4863  ccnv 5248  dom cdm 5249  cima 5252   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  supcsup 8502  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468  cn 11222  0cn0 11494  +crp 12035  [,)cico 12382  seqcseq 13008  cexp 13067  abscabs 14182  cli 14423  C𝑐cbcc 39061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-prod 14843  df-fallfac 14944  df-bcc 39062
This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  39081
  Copyright terms: Public domain W3C validator