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Theorem bgoldbtbnd 42022
 Description: If the binary Goldbach conjecture is valid up to an integer 𝑁, and there is a series ("ladder") of primes with a difference of at most 𝑁 up to an integer 𝑀, then the strong ternary Goldbach conjecture is valid up to 𝑀, see section 1.2.2 in [Helfgott] p. 4 with N = 4 x 10^18, taken from [OeSilva], and M = 8.875 x 10^30. (Contributed by AV, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bgoldbtbnd.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ11))
bgoldbtbnd.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ11))
bgoldbtbnd.b (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
bgoldbtbnd.d (𝜑𝐷 ∈ (ℤ‘3))
bgoldbtbnd.f (𝜑𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
bgoldbtbnd.i (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))))
bgoldbtbnd.0 (𝜑 → (𝐹‘0) = 7)
bgoldbtbnd.1 (𝜑 → (𝐹‘1) = 13)
bgoldbtbnd.l (𝜑𝑀 < (𝐹𝐷))
bgoldbtbnd.r (𝜑 → (𝐹𝐷) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
bgoldbtbnd (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑀) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐹   𝑖,𝑁,𝑛   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑖,𝑛)

Proof of Theorem bgoldbtbnd
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 𝑚 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 809 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 ∈ Odd )
2 bgoldbtbnd.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ (ℤ‘3))
3 eluzge3nn 11768 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (ℤ‘3) → 𝐷 ∈ ℕ)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
5 iccelpart 41694 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℕ → ∀𝑓 ∈ (RePart‘𝐷)(𝑛 ∈ ((𝑓‘0)[,)(𝑓𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1)))))
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (RePart‘𝐷)(𝑛 ∈ ((𝑓‘0)[,)(𝑓𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1)))))
7 bgoldbtbnd.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
8 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘0) = (𝐹‘0))
9 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝐷) = (𝐹𝐷))
108, 9oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘0)[,)(𝑓𝐷)) = ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)))
1110eleq2d 2716 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐹 → (𝑛 ∈ ((𝑓‘0)[,)(𝑓𝐷)) ↔ 𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷))))
12 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑗) = (𝐹𝑗))
13 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘(𝑗 + 1)) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
1412, 13oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1))) = ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))))
1514eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐹 → (𝑛 ∈ ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1))) ↔ 𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1)))))
1615rexbidv 3081 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1))) ↔ ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1)))))
1711, 16imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑛 ∈ ((𝑓‘0)[,)(𝑓𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1)))) ↔ (𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))))))
1817rspcv 3336 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (RePart‘𝐷) → (∀𝑓 ∈ (RePart‘𝐷)(𝑛 ∈ ((𝑓‘0)[,)(𝑓𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1)))) → (𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))))))
197, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑓 ∈ (RePart‘𝐷)(𝑛 ∈ ((𝑓‘0)[,)(𝑓𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1)))) → (𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))))))
20 oddz 41869 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ Odd → 𝑛 ∈ ℤ)
2120zred 11520 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ Odd → 𝑛 ∈ ℝ)
2221rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ Odd → 𝑛 ∈ ℝ*)
2322ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 ∈ ℝ*)
24 7re 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 7 ∈ ℝ
25 ltle 10164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((7 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (7 < 𝑛 → 7 ≤ 𝑛))
2624, 21, 25sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 7 ≤ 𝑛))
2726com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 < 𝑛 → (𝑛 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑛))
2827adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑀) → (𝑛 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑛))
2928impcom 445 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → 7 ≤ 𝑛)
3029adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 7 ≤ 𝑛)
31 bgoldbtbnd.m . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ11))
32 eluzelre 11736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ (ℤ11) → 𝑀 ∈ ℝ)
3332rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (ℤ11) → 𝑀 ∈ ℝ*)
3431, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ*)
36 bgoldbtbnd.r . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹𝐷) ∈ ℝ)
3736rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐷) ∈ ℝ*)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝐹𝐷) ∈ ℝ*)
39 simprrr 822 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 < 𝑀)
40 bgoldbtbnd.l . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 < (𝐹𝐷))
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑀 < (𝐹𝐷))
4223, 35, 38, 39, 41xrlttrd 12028 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 < (𝐹𝐷))
43 bgoldbtbnd.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹‘0) = 7)
4443oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) = (7[,)(𝐹𝐷)))
4544eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) ↔ 𝑛 ∈ (7[,)(𝐹𝐷))))
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) ↔ 𝑛 ∈ (7[,)(𝐹𝐷))))
4724rexri 10135 . . . . . . . . . . . . . 14 7 ∈ ℝ*
48 elico1 12256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((7 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐷) ∈ ℝ*) → (𝑛 ∈ (7[,)(𝐹𝐷)) ↔ (𝑛 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑛𝑛 < (𝐹𝐷))))
4947, 38, 48sylancr 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ (7[,)(𝐹𝐷)) ↔ (𝑛 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑛𝑛 < (𝐹𝐷))))
5046, 49bitrd 268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) ↔ (𝑛 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑛𝑛 < (𝐹𝐷))))
5123, 30, 42, 50mpbir3and 1264 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)))
52 fzo0sn0fzo1 12597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 ∈ ℕ → (0..^𝐷) = ({0} ∪ (1..^𝐷)))
5352eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (0..^𝐷) ↔ 𝑗 ∈ ({0} ∪ (1..^𝐷))))
54 elun 3786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ({0} ∪ (1..^𝐷)) ↔ (𝑗 ∈ {0} ∨ 𝑗 ∈ (1..^𝐷)))
5553, 54syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (0..^𝐷) ↔ (𝑗 ∈ {0} ∨ 𝑗 ∈ (1..^𝐷))))
564, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑗 ∈ (0..^𝐷) ↔ (𝑗 ∈ {0} ∨ 𝑗 ∈ (1..^𝐷))))
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑗 ∈ (0..^𝐷) ↔ (𝑗 ∈ {0} ∨ 𝑗 ∈ (1..^𝐷))))
58 velsn 4226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ {0} ↔ 𝑗 = 0)
59 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 0 → (𝐹𝑗) = (𝐹‘0))
60 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 = 0 → (𝑗 + 1) = (0 + 1))
61 0p1e1 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 + 1) = 1
6260, 61syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 0 → (𝑗 + 1) = 1)
6362fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 0 → (𝐹‘(𝑗 + 1)) = (𝐹‘1))
6459, 63oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 0 → ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) = ((𝐹‘0)[,)(𝐹‘1)))
65 bgoldbtbnd.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐹‘1) = 13)
6643, 65oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝐹‘0)[,)(𝐹‘1)) = (7[,)13))
6766adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝐹‘0)[,)(𝐹‘1)) = (7[,)13))
6864, 67sylan9eq 2705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 = 0 ∧ (𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)))) → ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) = (7[,)13))
6968eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 = 0 ∧ (𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)))) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) ↔ 𝑛 ∈ (7[,)13)))
701adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (7[,)13)) → 𝑛 ∈ Odd )
71 simprrl 821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 7 < 𝑛)
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (7[,)13)) → 7 < 𝑛)
73 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (7[,)13)) → 𝑛 ∈ (7[,)13))
74 bgoldbtbndlem1 42018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑛𝑛 ∈ (7[,)13)) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )
7570, 72, 73, 74syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (7[,)13)) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )
76 isgbo 41966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ GoldbachOdd ↔ (𝑛 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
7775, 76sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (7[,)13)) → (𝑛 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
7877simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (7[,)13)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
7978ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ (7[,)13) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
8079adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 = 0 ∧ (𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)))) → (𝑛 ∈ (7[,)13) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
8169, 80sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 = 0 ∧ (𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)))) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
8281ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 0 → ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
8358, 82sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ {0} → ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
84 bgoldbtbnd.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))))
85 fzo0ss1 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷)
8685sseli 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (1..^𝐷) → 𝑗 ∈ (0..^𝐷))
87 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = 𝑗 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑗))
8887eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2})))
89 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
9089fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑖 + 1)) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
9190, 87oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) = ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))
9291breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑗 → (((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4)))
9391breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑗 → (4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) ↔ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))
9488, 92, 933anbi123d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑗 → (((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) ↔ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))))
9594rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (0..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))))
9686, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))))
9784, 96mpan9 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))
98 bgoldbtbnd.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ11))
99 bgoldbtbnd.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
10031, 98, 99, 2, 7, 84, 43, 65, 40, 36bgoldbtbndlem4 42021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ Odd ) → ((𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) ≤ 4) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
101100ad2ant2r 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) ≤ 4) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
102101expcomd 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ≤ 4 → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
103 simplll 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝜑)
104 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 ∈ Odd )
105 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑗 ∈ (1..^𝐷))
106 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑛 − (𝐹𝑗))
10731, 98, 99, 2, 7, 84, 43, 65, 40, 36, 106bgoldbtbndlem3 42020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)))))
108103, 104, 105, 107syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)))))
109 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑛 = 𝑚 → (4 < 𝑛 ↔ 4 < 𝑚))
110 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 < 𝑁𝑚 < 𝑁))
111109, 110anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑛 = 𝑚 → ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) ↔ (4 < 𝑚𝑚 < 𝑁)))
112 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ GoldbachEven ↔ 𝑚 ∈ GoldbachEven ))
113111, 112imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = 𝑚 → (((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ ((4 < 𝑚𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ GoldbachEven )))
114113cbvralv 3201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ ∀𝑚 ∈ Even ((4 < 𝑚𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ GoldbachEven ))
115 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑚 = (𝑛 − (𝐹𝑗)) → (4 < 𝑚 ↔ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))))
116 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑚 = (𝑛 − (𝐹𝑗)) → (𝑚 < 𝑁 ↔ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁))
117115, 116anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚 = (𝑛 − (𝐹𝑗)) → ((4 < 𝑚𝑚 < 𝑁) ↔ (4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁)))
118 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚 = (𝑛 − (𝐹𝑗)) → (𝑚 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven ))
119117, 118imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑚 = (𝑛 − (𝐹𝑗)) → (((4 < 𝑚𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ GoldbachEven ) ↔ ((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven )))
120119rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → (∀𝑚 ∈ Even ((4 < 𝑚𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ GoldbachEven ) → ((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven )))
121114, 120syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven )))
122 pm3.35 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) ∧ ((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven )) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven )
123 isgbe 41964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven ↔ ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))))
124 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹𝑗) ∈ ℙ)
1251243ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))) → (𝐹𝑗) ∈ ℙ)
126125adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → (𝐹𝑗) ∈ ℙ)
127126ad5antlr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))) → (𝐹𝑗) ∈ ℙ)
128 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑟 = (𝐹𝑗) → (𝑟 ∈ Odd ↔ (𝐹𝑗) ∈ Odd ))
1291283anbi3d 1445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑟 = (𝐹𝑗) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹𝑗) ∈ Odd )))
130 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑟 = (𝐹𝑗) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗)))
131130eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑟 = (𝐹𝑗) → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗))))
132129, 131anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑟 = (𝐹𝑗) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹𝑗) ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗)))))
133132adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))) ∧ 𝑟 = (𝐹𝑗)) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹𝑗) ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗)))))
134 oddprmALTV 41923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹𝑗) ∈ Odd )
1351343ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))) → (𝐹𝑗) ∈ Odd )
136135adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → (𝐹𝑗) ∈ Odd )
137136ad4antlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝐹𝑗) ∈ Odd )
138 3simpa 1078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ))
139137, 138anim12ci 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝐹𝑗) ∈ Odd ))
140 df-3an 1056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹𝑗) ∈ Odd ) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝐹𝑗) ∈ Odd ))
141139, 140sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))) → (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹𝑗) ∈ Odd ))
14220zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (𝑛 ∈ Odd → 𝑛 ∈ ℂ)
143142ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 ∈ ℂ)
144 prmz 15436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ((𝐹𝑗) ∈ ℙ → (𝐹𝑗) ∈ ℤ)
145144zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ((𝐹𝑗) ∈ ℙ → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
146124, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
1471463ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 (((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
148147adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
149148ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
150143, 149npcand 10434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) + (𝐹𝑗)) = 𝑛)
151150adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) + (𝐹𝑗)) = 𝑛)
152151ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ ((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) + (𝐹𝑗)) = 𝑛)
153 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) + (𝐹𝑗)) = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗)))
154152, 153sylan9req 2706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ ((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗)))
155154exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → (((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞) → 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗)))))
156155com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞) → (((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗)))))
1571563impia 1280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞)) → (((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗))))
158157impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗)))
159141, 158jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹𝑗) ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗))))
160127, 133, 159rspcedvd 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
161160ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
162161reximdva 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
163162reximdva 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
164163exp41 637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → (𝜑 → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
165164com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞)) → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
166165imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))) → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))
167123, 166sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))
168167a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
169122, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) ∧ ((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven )) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
170169ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven ) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
171170ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → (((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven ) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
172171com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → (((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven ) → (((𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
173121, 172syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (((𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
174173com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → (((𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
1751743impib 1281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
176175com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
17799, 176mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))
178177impl 649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
179178imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
180108, 179syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
181180expcomd 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
18221ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 ∈ ℝ)
183144zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹𝑗) ∈ ℙ → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
184124, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
1851843ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
186185ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
187182, 186resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
188 4re 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 ∈ ℝ
189 lelttric 10182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ≤ 4 ∨ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))))
190187, 188, 189sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ≤ 4 ∨ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))))
191102, 181, 190mpjaod 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
192191ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
19397, 192mpdan 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
194193expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1..^𝐷) → (𝜑 → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))
195194impd 446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1..^𝐷) → ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
19683, 195jaoi 393 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ {0} ∨ 𝑗 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
197196com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝑗 ∈ {0} ∨ 𝑗 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
19857, 197sylbid 230 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑗 ∈ (0..^𝐷) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
199198rexlimdv 3059 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
20051, 199embantd 59 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
201200ex 449 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → ((𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
202201com23 86 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
20319, 202syld 47 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑓 ∈ (RePart‘𝐷)(𝑛 ∈ ((𝑓‘0)[,)(𝑓𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
2046, 203mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
205204imp 444 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
2061, 205jca 553 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
207206, 76sylibr 224 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )
208207exp32 630 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ Odd → ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑀) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
209208ralrimiv 2994 1 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑀) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ∖ cdif 3604   ∪ cun 3605  {csn 4210   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  ℕcn 11058  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  7c7 11113  ;cdc 11531  ℤ≥cuz 11725  [,)cico 12215  ..^cfzo 12504  ℙcprime 15432  RePartciccp 41674   Even ceven 41862   Odd codd 41863   GoldbachEven cgbe 41958   GoldbachOdd cgbo 41960 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-prm 15433  df-iccp 41675  df-even 41864  df-odd 41865  df-gbe 41961  df-gbo 41963 This theorem is referenced by:  tgblthelfgott  42028  tgblthelfgottOLD  42034
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