Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bfp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bfp 33936
Description: Banach fixed point theorem, also known as contraction mapping theorem. A contraction on a complete metric space has a unique fixed point. We show existence in the lemmas, and uniqueness here - if 𝐹 has two fixed points, then the distance between them is less than 𝐾 times itself, a contradiction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bfp.3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
bfp.4 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
bfp.5 (𝜑𝐾 < 1)
bfp.6 (𝜑𝐹:𝑋𝑋)
bfp.7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
bfp (𝜑 → ∃!𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem bfp
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bfp.3 . . . 4 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
2 n0 4074 . . . 4 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝑋)
31, 2sylib 208 . . 3 (𝜑 → ∃𝑤 𝑤𝑋)
4 bfp.2 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
54adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑋) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
61adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
7 bfp.4 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
87adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑋) → 𝐾 ∈ ℝ+)
9 bfp.5 . . . . 5 (𝜑𝐾 < 1)
109adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑋) → 𝐾 < 1)
11 bfp.6 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋𝑋)
1211adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑋) → 𝐹:𝑋𝑋)
13 bfp.7 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
1413adantlr 753 . . . 4 (((𝜑𝑤𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
15 eqid 2760 . . . 4 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
16 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑋) → 𝑤𝑋)
17 eqid 2760 . . . 4 seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝑤})) = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝑤}))
185, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17bfplem2 33935 . . 3 ((𝜑𝑤𝑋) → ∃𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧)
193, 18exlimddv 2012 . 2 (𝜑 → ∃𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧)
20 oveq12 6822 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦))
2120adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦))
2213adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
2321, 22eqbrtrrd 4828 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
24 cmetmet 23284 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
254, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2625ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
27 simplrl 819 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝑥𝑋)
28 simplrr 820 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝑦𝑋)
29 metcl 22338 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
3026, 27, 28, 29syl3anc 1477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
317rpred 12065 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
3231ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝐾 ∈ ℝ)
3332, 30remulcld 10262 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) ∈ ℝ)
3430, 33suble0d 10810 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))) ≤ 0 ↔ (𝑥𝐷𝑦) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
3523, 34mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))) ≤ 0)
36 1cnd 10248 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 1 ∈ ℂ)
3732recnd 10260 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝐾 ∈ ℂ)
3830recnd 10260 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℂ)
3936, 37, 38subdird 10679 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) = ((1 · (𝑥𝐷𝑦)) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
4038mulid2d 10250 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (1 · (𝑥𝐷𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦))
4140oveq1d 6828 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((1 · (𝑥𝐷𝑦)) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))) = ((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
4239, 41eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) = ((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
43 1re 10231 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
44 resubcl 10537 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
4543, 31, 44sylancr 698 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
4645ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
4746recnd 10260 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (1 − 𝐾) ∈ ℂ)
4847mul01d 10427 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · 0) = 0)
4935, 42, 483brtr4d 4836 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) ≤ ((1 − 𝐾) · 0))
50 0red 10233 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 0 ∈ ℝ)
51 posdif 10713 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐾)))
5231, 43, 51sylancl 697 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐾)))
539, 52mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (1 − 𝐾))
5453ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 0 < (1 − 𝐾))
55 lemul2 11068 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝐾) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝐾))) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) ≤ ((1 − 𝐾) · 0)))
5630, 50, 46, 54, 55syl112anc 1481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) ≤ ((1 − 𝐾) · 0)))
5749, 56mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ 0)
58 metge0 22351 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
5926, 27, 28, 58syl3anc 1477 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
60 0re 10232 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
61 letri3 10315 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
6230, 60, 61sylancl 697 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
6357, 59, 62mpbir2and 995 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) = 0)
64 meteq0 22345 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
6526, 27, 28, 64syl3anc 1477 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
6663, 65mpbid 222 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)
6766ex 449 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
6867ralrimivva 3109 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
69 fveq2 6352 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
70 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧)
7169, 70eqeq12d 2775 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹𝑧) = 𝑧))
7271anbi1d 743 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) ↔ ((𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)))
73 equequ1 2107 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 𝑦𝑧 = 𝑦))
7472, 73imbi12d 333 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → ((((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (((𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)))
7574ralbidv 3124 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝑋 (((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑦𝑋 (((𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)))
7675cbvralv 3310 . . 3 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 (((𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦))
7768, 76sylib 208 . 2 (𝜑 → ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 (((𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦))
78 fveq2 6352 . . . 4 (𝑧 = 𝑦 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑦))
79 id 22 . . . 4 (𝑧 = 𝑦𝑧 = 𝑦)
8078, 79eqeq12d 2775 . . 3 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐹𝑧) = 𝑧 ↔ (𝐹𝑦) = 𝑦))
8180reu4 3541 . 2 (∃!𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧 ↔ (∃𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 (((𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)))
8219, 77, 81sylanbrc 701 1 (𝜑 → ∃!𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  ∃!wreu 3052  c0 4058  {csn 4321   class class class wbr 4804   × cxp 5264  ccom 5270  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  1st c1st 7331  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  cn 11212  +crp 12025  seqcseq 12995  Metcme 19934  MetOpencmopn 19938  CMetcms 23252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-rest 16285  df-topgen 16306  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-top 20901  df-topon 20918  df-bases 20952  df-ntr 21026  df-nei 21104  df-lm 21235  df-haus 21321  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-cfil 23253  df-cau 23254  df-cmet 23255
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator