MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bezoutlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bezoutlem1 15458
Description: Lemma for bezout 15462. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bezout.1 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
bezout.3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
bezout.4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
bezoutlem1 (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem bezoutlem1
StepHypRef Expression
1 bezout.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 fveq2 6352 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → (abs‘𝑧) = (abs‘𝐴))
3 oveq1 6820 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
42, 3eqeq12d 2775 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → ((abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥)))
54rexbidv 3190 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥)))
6 zre 11573 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
7 1z 11599 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
8 ax-1rid 10198 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 · 1) = 𝑧)
98eqcomd 2766 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 = (𝑧 · 1))
10 oveq2 6821 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑧 · 𝑥) = (𝑧 · 1))
1110eqeq2d 2770 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (𝑧 = (𝑧 · 𝑥) ↔ 𝑧 = (𝑧 · 1)))
1211rspcev 3449 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑧 = (𝑧 · 1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
137, 9, 12sylancr 698 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
14 eqeq1 2764 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝑧) = 𝑧 → ((abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
1514rexbidv 3190 . . . . . . . 8 ((abs‘𝑧) = 𝑧 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
1613, 15syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ → ((abs‘𝑧) = 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥)))
17 neg1z 11605 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℤ
18 recn 10218 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
1918mulm1d 10674 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → (-1 · 𝑧) = -𝑧)
20 neg1cn 11316 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
21 mulcom 10214 . . . . . . . . . . 11 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-1 · 𝑧) = (𝑧 · -1))
2220, 18, 21sylancr 698 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → (-1 · 𝑧) = (𝑧 · -1))
2319, 22eqtr3d 2796 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 = (𝑧 · -1))
24 oveq2 6821 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -1 → (𝑧 · 𝑥) = (𝑧 · -1))
2524eqeq2d 2770 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -1 → (-𝑧 = (𝑧 · 𝑥) ↔ -𝑧 = (𝑧 · -1)))
2625rspcev 3449 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℤ ∧ -𝑧 = (𝑧 · -1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
2717, 23, 26sylancr 698 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥))
28 eqeq1 2764 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝑧) = -𝑧 → ((abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
2928rexbidv 3190 . . . . . . . 8 ((abs‘𝑧) = -𝑧 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑧 = (𝑧 · 𝑥)))
3027, 29syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ → ((abs‘𝑧) = -𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥)))
31 absor 14239 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ → ((abs‘𝑧) = 𝑧 ∨ (abs‘𝑧) = -𝑧))
3216, 30, 31mpjaod 395 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥))
336, 32syl 17 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑧) = (𝑧 · 𝑥))
345, 33vtoclga 3412 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥))
351, 34syl 17 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥))
36 bezout.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3736zcnd 11675 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3837adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3938mul01d 10427 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐵 · 0) = 0)
4039oveq2d 6829 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) = ((𝐴 · 𝑥) + 0))
411zcnd 11675 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
42 zcn 11574 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
43 mulcl 10212 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
4441, 42, 43syl2an 495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
4544addid1d 10428 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑥) + 0) = (𝐴 · 𝑥))
4640, 45eqtrd 2794 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) = (𝐴 · 𝑥))
4746eqeq2d 2770 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) ↔ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥)))
48 0z 11580 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
49 oveq2 6821 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · 0))
5049oveq2d 6829 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)))
5150eqeq2d 2770 . . . . . . 7 (𝑦 = 0 → ((abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0))))
5251rspcev 3449 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0))) → ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
5348, 52mpan 708 . . . . 5 ((abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 0)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
5447, 53syl6bir 244 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
5554reximdva 3155 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = (𝐴 · 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
5635, 55mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
57 nnabscl 14264 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ)
5857ex 449 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ ℕ))
591, 58syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ ℕ))
60 eqeq1 2764 . . . . 5 (𝑧 = (abs‘𝐴) → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
61602rexbidv 3195 . . . 4 (𝑧 = (abs‘𝐴) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
62 bezout.1 . . . 4 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
6361, 62elrab2 3507 . . 3 ((abs‘𝐴) ∈ 𝑀 ↔ ((abs‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
6463simplbi2com 658 . 2 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (abs‘𝐴) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ((abs‘𝐴) ∈ ℕ → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))
6556, 59, 64sylsyld 61 1 (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  {crab 3054  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  -cneg 10459  cn 11212  cz 11569  abscabs 14173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175
This theorem is referenced by:  bezoutlem2  15459  bezoutlem4  15461
  Copyright terms: Public domain W3C validator