MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcp1nk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcp1nk 13290
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝑁 and 𝐾 increased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
bcp1nk (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))

Proof of Theorem bcp1nk
StepHypRef Expression
1 elfzel1 12526 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 ∈ ℤ)
2 elfzel2 12525 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 elfzelz 12527 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
4 1zzd 11592 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
5 fzaddel 12560 . . . . . 6 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1474 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
76ibi 256 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
8 1e0p1 11736 . . . . 5 1 = (0 + 1)
98oveq1i 6815 . . . 4 (1...(𝑁 + 1)) = ((0 + 1)...(𝑁 + 1))
107, 9syl6eleqr 2842 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 1)))
11 bcm1k 13288 . . 3 ((𝐾 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))))
1210, 11syl 17 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))))
133zcnd 11667 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
14 ax-1cn 10178 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
15 pncan 10471 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
1613, 14, 15sylancl 697 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
1716oveq2d 6821 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
18 bcp1n 13289 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
1917, 18eqtrd 2786 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
2016oveq2d 6821 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝐾))
2120oveq1d 6820 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1)) = (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)))
2219, 21oveq12d 6823 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))) = (((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))))
23 bcrpcl 13281 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
2423rpcnd 12059 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℂ)
252peano2zd 11669 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2625zred 11666 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
273zred 11666 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
282zred 11666 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
29 elfzle2 12530 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾𝑁)
3028ltp1d 11138 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
3127, 28, 26, 29, 30lelttrd 10379 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 < (𝑁 + 1))
32 znnsub 11607 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐾 < (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ))
333, 25, 32syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 < (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ))
3431, 33mpbid 222 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ)
3526, 34nndivred 11253 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) ∈ ℝ)
3635recnd 10252 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) ∈ ℂ)
3734nnred 11219 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℝ)
38 elfznn0 12618 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
39 nn0p1nn 11516 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
4137, 40nndivred 11253 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)) ∈ ℝ)
4241recnd 10252 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)) ∈ ℂ)
4324, 36, 42mulassd 10247 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁C𝐾) · (((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)))))
4425zcnd 11667 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
4534nncnd 11220 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ)
4640nncnd 11220 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
4734nnne0d 11249 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0)
4840nnne0d 11249 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ≠ 0)
4944, 45, 46, 47, 48dmdcan2d 11015 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1)))
5049oveq2d 6821 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · (((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)))) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))
5143, 50eqtrd 2786 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))
5222, 51eqtrd 2786 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))
5312, 52eqtrd 2786 1 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1624  wcel 2131   class class class wbr 4796  (class class class)co 6805  cc 10118  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125   < clt 10258  cmin 10450   / cdiv 10868  cn 11204  0cn0 11476  cz 11561  ...cfz 12511  Ccbc 13275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-fz 12512  df-seq 12988  df-fac 13247  df-bc 13276
This theorem is referenced by:  sylow1lem1  18205
  Copyright terms: Public domain W3C validator