MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcp1n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcp1n 13317
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝑁 increased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcp1n (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))

Proof of Theorem bcp1n
StepHypRef Expression
1 elfz3nn0 12647 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 facp1 13279 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
4 fznn0sub 12586 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
5 facp1 13279 . . . . . . . 8 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)))
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)))
71nn0cnd 11565 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
8 1cnd 10268 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
9 elfznn0 12646 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
109nn0cnd 11565 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
117, 8, 10addsubd 10625 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) = ((𝑁𝐾) + 1))
1211fveq2d 6357 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) = (!‘((𝑁𝐾) + 1)))
1311oveq2d 6830 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)))
146, 12, 133eqtr4d 2804 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
1514oveq1d 6829 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)))
164faccld 13285 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
1716nncnd 11248 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℂ)
18 nn0p1nn 11544 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ)
194, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ)
2011, 19eqeltrd 2839 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ)
2120nncnd 11248 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ)
229faccld 13285 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
2322nncnd 11248 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
2417, 21, 23mul32d 10458 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
2515, 24eqtrd 2794 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
263, 25oveq12d 6832 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
271faccld 13285 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
2827nncnd 11248 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
29 nn0p1nn 11544 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
301, 29syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3130nncnd 11248 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
3216, 22nnmulcld 11280 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
33 nncn 11240 . . . . . 6 (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ)
34 nnne0 11265 . . . . . 6 (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0)
3533, 34jca 555 . . . . 5 (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0))
3632, 35syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0))
3720nnne0d 11277 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0)
3821, 37jca 555 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0))
39 divmuldiv 10937 . . . 4 ((((!‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) ∧ ((((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0) ∧ (((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0))) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
4028, 31, 36, 38, 39syl22anc 1478 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
4126, 40eqtr4d 2797 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
42 fzelp1 12606 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
43 bcval2 13306 . . 3 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
4442, 43syl 17 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
45 bcval2 13306 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
4645oveq1d 6829 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
4741, 44, 463eqtr4d 2804 1 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  cmin 10478   / cdiv 10896  cn 11232  0cn0 11504  ...cfz 12539  !cfa 13274  Ccbc 13303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-seq 13016  df-fac 13275  df-bc 13304
This theorem is referenced by:  bcp1nk  13318  bcpasc  13322  bcp1ctr  25224  bcm1n  29884  bcm1nt  31951
  Copyright terms: Public domain W3C validator